Финансовая математика

Решение

Пусть $S$ тысяч рублей --- сумма кредита. В первые 5 лет долг должен ежегодно уменьшаться на одну и ту же сумму. Так как к 2030 году он должен составлять 800 тыс. рублей, то в первые 5 лет сумма ежегодного уменьшения долга равна $\frac{S - 800}{5}$. Обозначим эту величину через $x$. В последние 5 лет долг должен уменьшаться с 800 тыс. руб. до 0, значит ежегодное уменьшение долга составит $\frac{800}{5} = 160$ тыс. руб. Каждая выплата состоит из суммы, на которую уменьшается долг, и суммы начисленных процентов. Составим таблицу.

Общая сумма выплат состоит из суммы кредита $S$ и суммы начисленных за все годы процентов. По условию она равна $2090$ тыс. рублей. Сумма процентов равна $0{,}1$ от суммы всех долгов на начало каждого года (до гашения).

Запишем сумму долгов за все 10 лет: $$S + (800+4x) + (800+3x) + (800+2x) + (800+x) + 800 + 640 + 480 + 320 + 160.$$

Подставим $x = \frac{S - 800}{5}$: $$S + 4\cdot 800 + 10\cdot \frac{S-800}{5} + 800 + 640 + 480 + 320 + 160 = S + 3200 + 2\cdot(S-800) + 2400 = S + 3200 + 2S - 1600 + 2400 = 3S + 4000.$$

Следовательно, сумма всех начисленных процентов равна: $$0{,}1 \cdot (3S + 4000) = 0{,}3S + 400.$$

Общая сумма выплат: $$S + 0{,}3S + 400 = 1{,}3S + 400.$$

По условию общая сумма выплат равна 2090 тыс. руб.: $$1{,}3S + 400 = 2090 \quad\Rightarrow\quad 1{,}3S = 1690 \quad\Rightarrow\quad S = \frac{1690}{1{,}3} = 1300.$$

Ответ: 1 300 000 рублей.

Решение

Пусть:

Сумма кредита: $S$ рублей

Ежегодная выплата: $x$ рублей

Годовой коэффициент увеличения долга: $k = 1{,}2$ (20%)

Срок кредита: 4 года (2024–2027)

Общая сумма выплат: $311\,040$ рублей.

После четырёх лет погашения долг становится равным нулю: $$k^4S - x(k^3 + k^2 + k + 1) = 0.$$ Отсюда $$S = \frac{x(k^3 + k^2 + k + 1)}{k^4} = \frac{x(k^4 - 1)}{k^4(k - 1)}.$$

Подстановка значений:

При $k = 1{,}2 = \dfrac{6}{5}$: $$S = \frac{x\left(\left(\frac{6}{5}\right)^4 - 1\right)}{\left(\frac{6}{5}\right)^4 \cdot \frac{1}{5}} = \frac{x\left(\frac{1296}{625} - 1\right)}{\frac{1296}{625} \cdot \frac{1}{5}} = \frac{x \cdot \frac{671}{625}}{\frac{1296}{3125}} = x \cdot \frac{671}{625} \cdot \frac{3125}{1296}.$$ Упростим: $$\frac{671}{625} \cdot \frac{3125}{1296} = \frac{671 \cdot 5}{1296} = \frac{3355}{1296}.$$ Итак, $$S = \frac{3355}{1296}x.$$

Расчёт суммы кредита:

Общая сумма выплат: $$4x = 311\,040 \quad\Rightarrow\quad x = 77\,760 \text{ рублей}.$$ Тогда $$S = \frac{3355}{1296} \cdot 77\,760.$$ Сократим: $77\,760 : 1296 = 60$. Получаем: $$S = 3355 \cdot 60 = 201\,300 \text{ рублей}.$$

Ответ: $201\,300$ рублей.

Решение

Пусть:

• Сумма кредита: $S$ рублей

• Ежегодная выплата: $x$ рублей

• Годовой коэффициент увеличения долга: $k = 1.25$ (25%)

• Срок кредита: 4 года (2024-2027)

• Общая сумма выплат: 375,000 рублей

Вывод уравнения:

Из последнего условия: $$k^4S - x(k^3 + k^2 + k + 1) = 0$$ $$S = \frac{x(k^3 + k^2 + k + 1)}{k^4} = \frac{x(k^4 - 1)}{k^4(k - 1)}$$

Подстановка значений:

При $k = \dfrac{5}{4}$: $$S = \frac{x\left(\left(\frac{5}{4}\right)^4 - 1\right)}{\left(\frac{5}{4}\right)^4 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{x\left(\frac{625}{256} - 1\right)}{\frac{625}{256} \cdot \frac{1}{4}} = \frac{x \cdot \frac{369}{256}}{\frac{625}{1024}} = x \cdot \frac{369}{256} \cdot \frac{1024}{625} = \frac{1476}{625}x$$

Расчет суммы кредита:

Общая сумма выплат: $$4x = 375\,000 \Rightarrow x = 93\,750 \text{ рублей}$$ $$S = \frac{1476}{625} \cdot 93\,750 = \frac{1476 \cdot 93\,750}{625} = 1476 \cdot 150 = 221\,400 \text{ рублей}$$

Ответ: 221,400 рублей