Финансовая математика

Пусть: $S$ – сумма кредита (в рублях), взятая в июне 2025 года. $x$ – сумма платежа, выплаченного в 2026 году.

Уравнение для 2029 года: $$1.2(1.728S - 5.92x) = 1\,770\,240$$ $$2.0736S - 7.104x = 1\,770\,240$$

Сумма выплат: $$x + 1.6x + 2.56x + 1\,770\,240 = 8\,994\,240$$ $$5.16x = 7\,224\,000$$ $$x = 1\,400\,000$$

Подставим $x = 1\,400\,000$: $$2.0736S - 7.104 \cdot 1\,400\,000 = 1\,770\,240$$ $$2.0736S - 9\,945\,600 = 1\,770\,240$$ $$2.0736S = 11\,715\,840$$ $$S = 5\,650\,000$$

Ответ: $5\,650\,000$ руб.

Пусть на первом заводе рабочие производят $x$ единиц товаров, а трудятся $x^2$ часов. На втором заводе рабочие производят $y$ единиц товаров, а трудятся $y^2$ часов.

Тогда рабочим на 1 заводе выплатят суммарно за неделю $500x^2$ рублей, а на втором заводе $300y^2$ рублей.

Составим функцию количества товаров произведённых на всех заводах за неделю: $$f(x, y) = x + y$$ Так как Вадим готов максимально выделять $1200000$ рублей: $$500x^2 + 300y^2 = 1200000 \Leftrightarrow 5x^2 + 3y^2 = 12000 \Leftrightarrow y = \sqrt{\frac{12000 - 5x^2}{3}}$$ Подставим $y$ в $f(x, y)$: $$f(x, y) = x + \sqrt{\frac{12000 - 5x^2}{3}} = f(x)$$ Найдём, какое максимальное количество товаров можно произвести на первом заводе за неделю. Для этого найдём точку максимума данной функции: $$f'(x) = 1 - \frac{10x}{6\sqrt{\frac{12000 - 5x^2}{3}}} = 0 \Leftrightarrow 6\sqrt{\frac{12000 - 5x^2}{3}} = 10x\Leftrightarrow 36\cdot\frac{12000 - 5x^2}{3} = 100x^2 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 144000 - 60x^2 = 100x^2 \Leftrightarrow 160x^2 = 144000 \Leftrightarrow x^2 = 900 \Rightarrow x = 30$$

Значит, на первом заводе можно произвести максимум 30 единиц товаров в неделю.

Найдём, какое максимальное количество товаров можно произвести на втором заводе за неделю: $$500\cdot900 + 300y^2 = 1200000 \Leftrightarrow 4500 + 3y^2 = 12000 \Leftrightarrow y^2 = 2500 \Rightarrow y = 50$$

Значит, максимально за неделю можно произвести: $$30 + 50 = 80$$ единиц товаров.

Ответ: $80$

Пусть сумма кредита равна $S$ (млн. руб)

$X$ – величина, на которую долг равномерно уменьшался в 28, 29, 31 и 32 годах.

$r$ – процентная ставка.

$k = 1 + \frac{r}{100} = 1 + \frac{12}{100} = 1,12$ – коэффициент увеличения долга.

Составим таблицу:

Из условия полного погашения кредита к 15 января 2032 года получаем уравнение:

$$0,5(S - 2x) - 2x = 0,$$

откуда

$$S = 6x.$$

Общая сумма всех выплат равна 4,08 млн рублей. Складывая выражения для выплат из таблицы, имеем:

$$(0,12S + x) + (0,12S + 0,88x) + (0,62S - 1,24x) + (0,06S + 0,88x) + (0,56S - 2,24x) = 4,08.$$

Приведём подобные слагаемые:

$$1,48S - 0,72x = 4,08.$$

Подставляя $S = 6x$, получаем:

$$1,48 \cdot 6x - 0,72x = 4,08,$$

$$8,16x = 4,08,$$

$$x = 0,5.$$

Таким образом, первоначальная сумма кредита составляет

$$S = 6 \cdot 0,5 = 3 \text{ млн рублей}.$$

Ответ: 3 млн.руб

По условию первоначальная сумма кредита равна 40 млн рублей. Так как в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на $25\%$ меньше долга на июль предыдущего года, то каждый раз после выплаты долг составляет $75\%$ от долга на июль предыдущего года. Составим таблицу:

Приравняем сумму выплат (сумма по столбцу «Выплата») к 61{,}875 млн рублей и найдём $r$:

$$(10+7{,}5+5{,}625+16{,}875)+\frac{r}{100}(40+30+22{,}5+16{,}875)=61{,}875$$

$$40+\frac{109{,}375r}{100}=61{,}875$$

$$109{,}375r=2187{,}5$$

$$r=20$$

Ответ: 20.

Составим таблицу, позволяющую отслеживать долг, приняв за S рублей сумму, которую планируется взять в кредит, за x рублей — равные платежи в каждом году.

Так как после последнего платежа долг банку полностью выплачен, то получаем следующее уравнение: $$1,2(1,2(1,2S-x)-x)-x=0$$

Так как общая сумма выплат составила $518400$, а кредит выплачивали тремя равными платежами, то каждый платеж составил: $$x=\frac{518400}{3}=172800$$

Тогда изначальное уравнение имеет вид: $$1,2(1,2(1,2S-x)-x)-x=0$$ $$1,2^3S-1,2^2x-1,2x-x=0$$ $$1,2^3S-x(1,2^2+1,2+1)=0$$ $$S=\frac{x(1,2^2+1,2+1)}{1,2^3}$$ $$S=\frac{172800\cdot 3,64}{1,728}=364000$$

Ответ:

$364000$ рублей