Финансовая математика

Составим таблицу, обозначив сумму кредита за $S=800000$ руб., а $x$ руб. — ежегодный платеж. В первые два года долг увеличивался в $1+\frac{10}{100}=1,1$ раза, а в третий — в $1+\frac{20}{100}=1,2$ раза.

Так как в конце третьего года кредит будет погашен, то

$$1,2(1,1^2S-2,1x)=x$$

$$1,2\cdot1,1^2S=x+1,2\cdot2,1x$$

$$3,52x=1,2\cdot1,1^2S$$

$$x=\frac{1,2\cdot1,1^2}{3,52}S$$

Мы знаем, что $S=800000$. Тогда получаем, что

$$x=\frac{1,2\cdot1,1^2}{3,52}S=\frac{12\cdot11}{320}S=$$

$$=\frac{3\cdot11}{80}\cdot800000=33\cdot10000=330000$$

Заметим, что за три года банку заплатили $3x$ рублей, значит, сумма, выплаченная банку, составила

$$3\cdot330000=990000 \text{ рублей.}$$

Ответ: $990000$

Составим таблицу, позволяющую отслеживать сумму долга в течение всего периода кредитования, ведя вычисления в млн рублей.

Общая сумма выплат равна

$$0,15S(1+0,8+0,5+0,1)+S<50$$

$$1,36S<50$$

$$S\leq 36$$

Следовательно, наибольшее целое значение $S$ равно $36$.

Ответ: $36$

Составим таблицу, отслеживающую деньги на счету в банке в течение этих четырех лет:

Если за четыре года банк начислит на вклад больше $7$ млн рублей, то получаем следующее неравенство:

$$1,1\bigl(1,1\bigl(1,1^2\cdot 10+x\bigr)+x\bigr)-10-2x>7$$

Таким образом,

$$x>\frac{17-1,1^4\cdot 10}{1,1^2+1,1-2}=7\frac{189}{310}$$

Так как $x$ — целое, то наименьшее $x=8$.

Ответ: $8$

Каждый год банк увеличивает сумму на счету на $20\%$, то есть в $1,2$ раза. Если же фонд все еще держит акции, то их цена после $t$-ого года увеличивается в

$$\frac{(t+1)^2}{t^2}=\left(\frac{t+1}{t}\right)^2=\left(1+\frac{1}{t}\right)^2 \text{ раз}$$

Этот коэффициент уменьшается с ростом $t$. Значит, если при каком-то $t$ он стал меньше $1,2$, то в каждый следующий год, начиная с $(t+1)$-ого, вклад в банке будет приносить большую прибыль. В то же время до $(t+1)$-ого года акции будут приносить большую прибыль. Значит, нам нужно найти такое значение $t$, при котором

$$\frac{(t+1)^2}{t^2}\le 1,2<\frac{t^2}{(t-1)^2}$$

То есть нужно найти такой год, после которого акции вырастут больше чем в $1,2$ раза, но после следующего — меньше чем в $1,2$ раза. Заметим, что

$$\frac{11^2}{10^2}=\frac{121}{100}=1,21>1,2$$

Но уже $\frac{12^2}{11^2}<1,2$, так как $121\cdot1,2=145,2>144$. Таким образом,

$$\frac{12^2}{11^2}<1,2<\frac{11^2}{10^2}$$

Значит, акции нужно продать в конце 11-ого года.

Ответ: В конце 11-ого года

Решение

Кредит в размере $S$ тыс. руб. погашается в течение 10 лет:

• Первые 5 лет: процентная ставка $18\%$

• Последние 5 лет: процентная ставка $16\%$

• Ежегодное уменьшение долга: $\frac{S}{10}$ тыс. руб.

Общая сумма выплат складывается из погашения основного долга $S$ и процентов, начисленных за каждый год.

Проценты за первые 5 лет начисляются на остатки долга: $$S,\ \frac{9}{10}S,\ \frac{8}{10}S,\ \frac{7}{10}S,\ \frac{6}{10}S.$$ Сумма этих остатков: $$S + \frac{9}{10}S + \frac{8}{10}S + \frac{7}{10}S + \frac{6}{10}S = 4S.$$ Проценты за первые 5 лет: $$0{,}18 \cdot 4S = 0{,}72S.$$

Проценты за последние 5 лет начисляются на остатки: $$\frac{5}{10}S,\ \frac{4}{10}S,\ \frac{3}{10}S,\ \frac{2}{10}S,\ \frac{1}{10}S.$$ Сумма этих остатков: $$\frac{5}{10}S + \frac{4}{10}S + \frac{3}{10}S + \frac{2}{10}S + \frac{1}{10}S = 1{,}5S.$$ Проценты за последние 5 лет: $$0{,}16 \cdot 1{,}5S = 0{,}24S.$$

Общая сумма выплат: $$S_{\text{общ}} = S + 0{,}72S + 0{,}24S = 1{,}96S.$$

По условию $S_{\text{общ}} = 1470$ тыс. руб., следовательно: $$1{,}96S = 1470 \quad\Rightarrow\quad S = \frac{1470}{1{,}96} = 750 \text{ тыс. руб.}$$

Ответ: $750\,000$ рублей.