Задача с параметром

Сделаем замену $x^2 = t\geq 0$

При $t = 0$ – 1 решение $x$.

При $t > 0$ – 2 решения $x$.

Получаем уравнение: $$|a - 2|t^2 -2at + |a - 12| = 0$$

Если данное уравнение будет иметь хотя бы одно положительное решение, то исходное уравнение будет иметь хотя бы 2 решения. Запишем необходимые условия для данной ситуации:

$$\begin{cases} D\geq 0 (1)\\ t_0 > 0 (2)\\ \frac{c}{a} \geq 0 (3) \text{ произведение корней неотрицательно} \end{cases}$$

Решим данные неравенства по отдельности:

$$4a^2 - 4|(a - 2)(a - 12)| \geq 0 \Leftrightarrow a ^2 \geq |(a - 2)(a - 12)|$$ Так как обе части неравенства неотрицательны, возведём их в квадрат: $$a^4 \geq (a - 2)^2(a - 12)^2 \Leftrightarrow (a^2 - (a - 2)(a - 12))(a^2 + (a - 2)(a - 12)) \geq 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow (14a - 24)(2a^2 - 14a + 24) \geq 0$$ $$\Leftrightarrow (7a - 12)(a^2 - 7a + 12) \geq 0 \Leftrightarrow(7a - 12)(a - 4)(a - 3) \geq 0$$

Воспользуемся методом интервалов:

$$a \in \left[\tfrac{12}{7}; 3\right] \cup [4; + \infty)$$

$$\frac{2a}{2|a - 2|} > 0 \Leftrightarrow a > 0$$

$$\frac{|a - 12|}{|a - 2|} \geq 0 \Leftrightarrow a \in R$$

При подстановке в уравнение $a = 2$ оно примет вид: $$t = \frac{|-10|}{4} = 2,5$$ что нам также подходит, поэтому мы берём это значение параметра в ответ.

Пересекая $(1), (2), (3)$, получаем:

$$a \in \left[\tfrac{12}{7}; 3\right] \cup [4; + \infty)$$

Ответ: $\left[\tfrac{12}{7}; 3\right] \cup [4; + \infty)$

Сделаем замену $t = |x - 2a - 1| + |x - 2a + 1|$.

$$t^2 + at + a^2 - 48 = 0$$

Построим график зависимости $t$ от $x$ и проанализируем его. Для этого последовательно раскроем модули.

$$\begin{cases} t = x - 2a -1 + x -2a + 1 , \text{ при }x \geq 2a + 1\\ t = -x + 2a + 1 + x - 2a + 1, \text{ при } 2a - 1< x < 2a + 1\\ t = -x + 2a + 1 - x + 2 a - 1, \text{ при } x \leq 2a - 1 \\ \end{cases}\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow\begin{cases} t = 2x - 4a, \text{ при }x \geq 2a + 1\\ t = 2, \text{ при } 2a - 1< x < 2a + 1\\ t = -2x + 4a, \text{ при } x \leq 2a - 1 \\ \end{cases}$$

Строим график:

Заметим, что при:

1. $t < 2$ исходное уравнение не будет иметь решений.

2. $t = 2$ исходное уравнение будет иметь бесконечно много решений.

3. $t > 2$ исходное уравнение будет иметь 2 решения для каждого такого значения $t$.

Исходное уравнение будет иметь ровно 2 решения, если:

a) Квадратное уравнение $t^2 + at + a^2 - 48 = 0$ имеет ровно 1 корень, больший $2$.

б) Квадратное уравнение $t^2 + at + a^2 - 48 = 0$ будет иметь 2 различных корня, один из которых строго больше $2$, а второй строго меньше $2$.

Последовательно рассмотрим данные случаи:

а) Зададим необходимые условия и составим систему:

$$\begin{cases} D = 0\\ t_{0} > 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a^2 - 4a^2+ 192 = 0\\ -\tfrac{a}{2} > 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3a^2 - 192 = 0\\ a < -4 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} a = \pm8\\ a < -4 \end{cases} \Leftrightarrow a = -8$$

б) Графиком квадратичной функции $t^2 + at + a^2 - 48$ является парабола с ветями, направленными вверх. Для того чтобы корни уравнения $t^2 + at + a^2 - 48 = 0$ находились по разные стороны от точки $t = 2$ необходимо, чтобы значение функции в этой точке было строго отрицательным: $$f(t) = t^2 + at + a^2 - 48$$

$$f(2) < 0 \Leftrightarrow 4 + 2a + a^2 - 48 < 0 \Leftrightarrow a^2 + 2a - 44 < 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} a < -1 + 3\sqrt{5}\\ a > -1 - 3\sqrt5 \end{cases}$$

Объединяя полученные значения, получаем:

$$(-1 - 3\sqrt5; -1 + 3\sqrt5) \cup \{-8\}$$

Ответ: $(-1 - 3\sqrt5; -1 + 3\sqrt5) \cup \{-8\}$

Введём функцию $f(x) = x^2 - (2a - 1)x + 4 - a$. Графиком функции $y = f(x)$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Эта парабола должна пересекать ось $Ox$ в двух точках (то есть исходное уравнение должно иметь два различных корня).

Выполнения этих условий можно добиться следующей конфигурацией:

$$f(3) < 0 \Leftrightarrow3^2 - (2a - 1)\cdot3 + 4 - a < 0 \Leftrightarrow9 - 6a + 3+ 4-a < 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 7a > 16 \Rightarrow a > \frac{16}{7}$$

Ответ: $\left(\frac{16}{7}; +\infty\right)$

$$x^4\cos a + 2x^2\sin a + \cos a = 0$$

Случай 1: $\cos a = 0$. Тогда уравнение принимает вид: $$2x^2\sin a = 0$$ Так как $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$, при $\cos a = 0$ имеем $\sin a \neq 0$. Следовательно: $$x^2 = 0 \Rightarrow x = 0.$$ Получаем один корень, что не удовлетворяет условию задачи. Таким образом, $\cos a \neq 0$.

Случай 2: $\cos a \neq 0$. Сделаем замену $t = x^2$, $t \geq 0$: $$t^2\cos a + 2t\sin a + \cos a = 0.$$ Поделим на $\cos a \neq 0$: $$t^2 + 2t \cdot \tg a + 1 = 0.$$

Для того чтобы исходное уравнение имело ровно два различных решения, квадратное уравнение относительно $t$ должно иметь:

• Либо один положительный корень,
• Либо два корня, один из которых положительный, а другой отрицательный.

1. Один положительный корень (дискриминант равен нулю, и корень положителен). $$\begin{cases} D = 0 \\ t_0 = -\tfrac{b}{2a} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 4\tg^2 a - 4 = 0 \\ -\tfrac{2\tg a}{2} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \tg^2 a = 1 \\ \tg a < 0 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \tg a = -1$$ $$\tg a = -1 \Rightarrow a = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

2. Два корня, один положительный, другой отрицательный (произведение корней отрицательно). Для квадратного уравнения $t^2 + 2t \tan a + 1 = 0$ произведение корней равно $\frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1 > 0$, поэтому данное условие не выполняется ни при каких $a$.

Ответ: $a = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

$$(*) x^2 + 3x - a \geq 0 \\$$

Преобразуем уравнение:

$$x^4 - 9x^2 + a^2 = (x^2 + 3x - a)^2$$

Раскроем правую часть: $$x^4 - 9x^2 + a^2 = x^4 + 9x^2 + a^2 + 6x^3 - 2a x^2 - 6a x$$

Упростим: $$-9x^2 = 9x^2 + 6x^3 - 2a x^2 - 6a x$$ $$6x^3 + 18x^2 - 2a x^2 - 6a x = 0$$ $$6x^2(x + 3) - 2a x(x + 3) = 0$$ $$(x + 3)(6x^2 - 2a x) = 0$$ $$(x + 3) \cdot x \cdot (6x - 2a) = 0$$

Получаем корни: $$x_1 = -3, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = \frac{a}{3}$$

Найдём значения параметра $a$, при которых корни уравнения удовлетворяют условию $(*)$. Для этого подставим их в $(*)$:

1. Для $x_1 = -3$: $$9 - 9 - a \geq 0 \Rightarrow a \leq 0$$

2. Для $x_2 = 0$: $$0 + 0 - a \geq 0 \Rightarrow a \leq 0$$

3. Для $x_3 = \frac{a}{3}$: $$\left(\frac{a}{3}\right)^2 + 3 \cdot \frac{a}{3} - a \geq 0 \Rightarrow \frac{a^2}{9} \geq 0 \Rightarrow a \in \mathbb{R}$$

Проверим совпадение корней:

1. $x_1 = x_2$: $$-3 \neq 0 \quad \text{не совпадают.}$$

2. $x_1 = x_3$: $$-3 = \frac{a}{3} \Rightarrow a = -9$$

3. $x_2 = x_3$: $$0 = \frac{a}{3} \Rightarrow a = 0$$

Отметим количество решений на оси:

Таким образом, уравнение имеет три различных корня при:

$$a \in (-\infty; -9) \cup (-9; 0)$$

Ответ: $(-\infty; -9) \cup (-9; 0)$