Числа и их свойства

а) Да, может, например: $$\sqrt[3]{18\cdot 36\cdot 72}=\sqrt[3]{36^3}=36.$$

Предисловие к пунктам б) и в).

Очевидно, что если среднее геометрическое набора из нескольких различных чисел равно $g$, то наименьшее число из набора меньше, чем $g$. При этом среди простых делителей чисел набора не должно встречаться простых чисел, отличных от простых делителей $g$.

Чтобы воспользоваться этим фактом, выпишем двузначные числа, простые делители которых состоят только из простых делителей соответствующего значения среднего геометрического.

Как видно из таблицы, средним геометрическим в данном интервале могут быть числа: $$18,\;20,\;22,\;24.$$

б) Будем считать, что $a,b,c,d$ — различные двузначные числа и $$a<b<c<d.$$

• Пусть $$\sqrt[4]{abcd}=18.$$ Тогда $$abcd=18^4=(2\cdot 3^2)^4=2^4\cdot 3^8.$$ Тогда $a=16$ или $a=12$. - Пусть $a=16=2^4$. Тогда $b,c,d$ обязаны быть степенями тройки, иначе либо степень двойки в произведении $abcd$ будет больше $4$, либо появится множитель, отличный от $2$ и $3$. Но среди двузначных чисел всего два числа, равные степеням тройки: $27$ и $81$. Тогда $a\neq 16$. - Пусть $a=12$. Тогда $$bcd=\frac{2^4\cdot 3^8}{2^2\cdot 3}=2^2\cdot 3^7.$$ Заметим, что $b\neq 16$, так как тогда степень двойки в $abcd$ будет больше $4$. Значит, $b\ge 18$. Рассмотрим, чему может быть равно $c$. Оно больше $18$. Если $c=19,20,21,22,23,25$ или $26$, то в произведении $abcd$ появятся простые множители, отличные от $2$ и $3$. Также $c\neq 24=2^3\cdot 3$, так как тогда степень двойки будет больше $4$. Следовательно, $c\ge 27$. Тогда $$d\le \frac{2^2\cdot 3^7}{18\cdot 27}=18,$$ но $d>27$ — противоречие. Значит, $a\neq 12$. Таким образом, среднее геометрическое четырёх различных двузначных чисел не может равняться $18$.

• На $20$ есть пример: $a=10$, $b=20$, $c=25$, $d=32$. Проверим: $$abcd=10\cdot 20\cdot 25\cdot 32=(2\cdot 5)(2^2\cdot 5)(5^2)(2^5)=2^8\cdot 5^4.$$ Тогда $$\sqrt[4]{abcd}=\sqrt[4]{2^8\cdot 5^4}=2^2\cdot 5=20.$$

Следовательно, ответ в пункте б): $$20.$$

в) Будем считать, что $a,b,c,d,e,f$ — различные двузначные числа и $$a<b<c<d<e<f.$$

• Пусть $$\sqrt[6]{abcdef}=18.$$ Тогда $$abcdef=18^6=(2\cdot 3^2)^6=2^6\cdot 3^{12}.$$ Первые шесть двузначных чисел, в разложении на простые которых входят только $2$ и $3$, это $$12,\;16,\;18,\;24,\;27,\;32.$$ Сравним их произведение с $18^6$: $$18^6 \;\text{vs}\; 12\cdot 16\cdot 18\cdot 24\cdot 27\cdot 32.$$ После сокращений получаем: $$3^5<2^9,$$ то есть $$243<512.$$ Следовательно, $$\sqrt[6]{abcdef}\neq 18.$$
• Пусть $$\sqrt[6]{abcdef}=20.$$ Тогда $$abcdef=20^6=(2^2\cdot 5)^6=2^{12}\cdot 5^6.$$ Первые шесть двузначных чисел с простыми делителями $2$ и $5$: $$10,\;16,\;20,\;25,\;32,\;40.$$ Сравнивая произведения, получаем: $$5<8,$$ следовательно, $$\sqrt[6]{abcdef}\neq 20.$$
• Пусть $$\sqrt[6]{abcdef}=22.$$ Тогда $$abcdef=22^6=(2\cdot 11)^6=2^6\cdot 11^6.$$ Первые шесть двузначных чисел с простыми делителями $2$ и $11$: $$11,\;16,\;22,\;32,\;44,\;64.$$ Сравнивая произведения, получаем: $$11\sqrt{11}<64,$$ следовательно, $$\sqrt[6]{abcdef}\neq 22.$$
• На $24$ есть пример: $$a=12,\;b=16,\;c=18,\;d=24,\;e=36,\;f=64.$$ Проверим: $$abcdef=12\cdot 16\cdot 18\cdot 24\cdot 36\cdot 64 =(2^2\cdot 3)(2^4)(2\cdot 3^2)(2^3\cdot 3)(2^2\cdot 3^2)(2^6) =2^{18}\cdot 3^6.$$ Тогда $$\sqrt[6]{abcdef}=\sqrt[6]{2^{18}\cdot 3^6}=2^3\cdot 3=24.$$

Ответ:

• [a)]а) Да, может
• [б)]б) $20$
• [в)]в) $24$

Пусть в первом наборе $a$ чисел, во втором $b$ чисел. Тогда $$\frac{150a + 50b}{a + b} = 78,$$ $$150a + 50b = 78a + 78b,$$ $$72a = 28b,$$ $$18a = 7b.$$

Тогда $b$ делится на 18, пусть $b = 18d$. Тогда $a = 7d$.

а) Пусть $n = 25$. Тогда теперь все числа в первом наборе равны 125. Значит, $$\frac{125a + 50b}{a + b} = \frac{75a}{a + b} + 50 = \frac{75 \cdot 7d}{7d + 18d} + 50$$ $$= \frac{25 \cdot 3 \cdot 7d}{25d} + 50 = 21 + 50 = 71.$$

б) Пусть может, тогда после этой операции среднее арифметическое равно $$\frac{(150 - m)a + 50b}{a + b} = \frac{150a + 50b}{a + b} - \frac{am}{a + b} = 78 - \frac{am}{a + b} = 70.$$

Значит, $$\frac{am}{a + b} = 8.$$ Тогда $$8 = \frac{am}{a + b} = \frac{7dm}{7d + 18d} = \frac{7m}{25}.$$

Следовательно, $7m = 8 \cdot 25$, но число слева делится на 7, а справа — нет, значит, такого натурального $m$ не существует.

в) Пусть мы вычитаем $k \le 149$ из первого набора. Тогда новое среднее арифметическое равно $$\frac{7d(150 - k) + 18d(50 + k)}{25d} = \frac{7 \cdot 150 - 7k + 18 \cdot 50 + 18k}{25} = \frac{1950 + 11k}{25} = 78 + \frac{11k}{25}.$$

Таким образом, $11k$ должно делиться на 25, то есть $k$ должно делиться на 25. Мы знаем, что $1 \le k \le 149$. Значит, подойдут $k$, равные 25, 50, 75, 100, 125. Таким значениям $k$ соответствуют следующие значения среднего арифметического: 89, 100, 111, 122, 133.

Пусть вычитаем $k \le 49$ из второго набора. Тогда новое среднее арифметическое равно $$\frac{7d(150 + k) + 18d(50 - k)}{25d} = \frac{7 \cdot 150 + 7k + 18 \cdot 50 - 18k}{25} = \frac{1950 - 11k}{25} = 78 - \frac{11k}{25}.$$

Таким образом, $11k$ должно делиться на 25, то есть $k$ должно делиться на 25. Мы знаем, что $1 \le k \le 49$. Значит, подойдёт $k$, равное 25. Таким значениям $k$ соответствуют следующие значения среднего арифметического: 67.

Итого получаем 6 возможных значений среднего арифметического: 67, 89, 100, 111, 122, 133.

Ответ:

• [а)] а)Да, может
• [б)] б)Нет, не может
• [в)] в)67, 89, 100, 111, 122, 133

Пусть в первом наборе $a$ чисел, во втором — $b$ чисел. Тогда по условию $$\frac{175a + 80b}{a+b} = 145.$$ Отсюда $$175a + 80b = 145a + 145b,$$ $$30a = 65b,$$ $$6a = 13b.$$

Следовательно, $b$ делится на $6$. Пусть $b = 6d$, тогда $a = 13d$.

а) Пусть $n=19$. Тогда все числа первого набора равны $175-19=156$. Новое среднее арифметическое равно $$\frac{156a + 80b}{a+b} = \frac{76a}{a+b} + 80 = \frac{76\cdot 13d}{13d+6d} + 80 = \frac{19\cdot 4\cdot 13d}{19d} + 80 = 52 + 80 = 132.$$

Следовательно, да, такое возможно.

б) Пусть после уменьшения среднее арифметическое стало равно $135$. Тогда $$\frac{(175-m)a + 80b}{a+b} = \frac{175a + 80b}{a+b} - \frac{am}{a+b} = 145 - \frac{am}{a+b} = 135.$$

Отсюда $$\frac{am}{a+b} = 10.$$

Подставим $a=13d$, $b=6d$: $$10 = \frac{13dm}{19d} = \frac{13m}{19}.$$

Тогда $$13m = 190.$$

Левая часть делится на $13$, правая — нет, противоречие. Следовательно, такого натурального $m$ не существует.

Ответ: нет.

в)

Случай 1. Уменьшаем числа первого набора и увеличиваем числа второго набора на $k$, где $1 \le k \le 174$.

Новое среднее арифметическое: $$\frac{13d(175-k) + 6d(80+k)}{19d} = \frac{13\cdot175 - 13k + 6\cdot80 + 6k}{19} = \frac{2755 - 7k}{19} = 145 - \frac{7k}{19}.$$

Чтобы среднее было целым, $7k$ должно делиться на $19$, значит $k$ делится на $19$. При $1 \le k \le 174$ получаем $$k = 19, 38, 57, 76, 95, 114, 133, 152, 171.$$

Соответствующие значения среднего арифметического: $$138,\;131,\;124,\;117,\;110,\;103,\;96,\;89,\;82.$$

Случай 2. Увеличиваем числа первого набора и уменьшаем числа второго набора на $k$, где $1 \le k \le 79$.

Тогда $$\frac{13d(175+k) + 6d(80-k)}{19d} = \frac{2755 + 7k}{19} = 145 + \frac{7k}{19}.$$

Аналогично, $k$ делится на $19$: $$k = 19, 38, 57, 76.$$

Соответствующие значения среднего арифметического: $$152,\;159,\;166,\;173.$$

Итак, все возможные значения среднего арифметического: $$82,\;89,\;96,\;103,\;110,\;117,\;124,\;131,\;138,\;152,\;159,\;166,\;173.$$

Ответ:

• [a)]а) Да
• [б)]б) Нет
• [в)]в) $82,\;89,\;96,\;103,\;110,\;117,\;124,\;131,\;138,\;152,\;159,\;166,\;173$

а) Число 1236 подойдёт: $$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 6 = 36 = 3 \cdot 12 = 3 \cdot (1 + 2 + 3 + 6).$$

б) Если наименьшая цифра равна хотя бы 2, то так как все цифры различны, их произведение хотя бы $2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$, а сумма не больше $9 \cdot 4 = 36$. Значит, неравенство не выполнено.

Если есть цифра 0, то неравенство очевидно верно.

Пусть есть цифра 1. Если при этом нет цифры 2, то произведение цифр равно хотя бы $1 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$, что больше наибольшей суммы цифр, равной $36 = 4 \cdot 9$. Пусть есть цифры 1 и 2. Тогда произведение не меньше чем $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$, а сумма цифр не больше чем $1 + 2 + 9 + 9 = 21$. И в этом случае произведение больше суммы.

Значит, нам нужно просто найти количество четырёхзначных чисел, в которых есть цифра 0. Легче это посчитать как разность количества четырёхзначных чисел и чисел, в которых нуля точно нет. Всего чисел $9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 4536$. Посчитаем количество чисел, в которых нет 0: их $9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024$. Тогда ответом будет $4536 - 3024 = 1512$.

в) Очевидно, что если при каких-то $a, b, c$ и $d$ число $k$ — наибольшее, то ни одна из цифр не равна 0.

Будем перебирать значения $k$. Так как $k$ — двузначное число, то $k < 100$.

Начнём перебор.

• Если $k = 99$, то $\overline{abcd}$ делится на 11. Такое невозможно, так как $a, b, c, d$ — цифры.
• Если $k = 98 = 7^2 \cdot 2$, то $\overline{abcd}$ делится на 49, то есть две цифры из четырёх равны 7. Тогда третья должна быть чётной. Пусть не умаляя общности $a = 7$, $b = 7$, $c = 2x$, где $1 \le x \le 4$. Тогда имеем: $$xd = 14 + 2x + d.$$ - Пусть $x = 1$, тогда $$xd = d < 10 < 14 < 14 + 2x + d.$$ - Пусть $x = 2$, тогда при любом $d \le 9$ $$xd = 2d < 18 + d = 14 + 2x + d.$$ - Пусть $x = 3$, тогда $$xd = 3d,\quad 14 + 2x + d = 20 + d.$$ Если $d \le 6$, то $$xd \le 18 < 20 + d.$$ Если $d = 7$, то $$xd = 21 < 20 + 7 = 27.$$ Если $d = 8$, то $$xd = 24 < 20 + 8 = 28.$$ Если $d = 9$, то $$xd = 27 < 20 + 9 = 29.$$ - Пусть $x = 4$, тогда $$xd = 4d,\quad 14 + 2x + d = 22 + d.$$ Если $d \le 5$, то $$xd \le 20 < 22 + d.$$ Если $d = 6$, то $$xd = 24 < 22 + 6 = 28.$$ Если $d = 7$, то $$xd = 28 < 22 + 7 = 29.$$ Если $d = 8$, то $$xd = 32 > 22 + 8 = 30.$$ Если $d = 9$, то $$xd = 36 > 22 + 9 = 31.$$ Значит, $k \ne 98$.
• Если $k = 97$, то $\overline{abcd}$ делится на 97. Такое невозможно, так как $a, b, c, d$ — цифры.

На 96 есть пример — число из цифр 5, 8, 8 и 9. Произведение его цифр равно $2^6 \cdot 3^2 \cdot 5$, а сумма цифр равна $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Тогда $$k = \frac{2^6 \cdot 3^2 \cdot 5}{2 \cdot 3 \cdot 5} = 2^5 \cdot 3 = 32 \cdot 3 = 96.$$

Тогда наименьшее число из этих цифр равняется 5889.

Докажем, что числа меньше 5889 не подходят.

Пусть $\overline{abcd} < 5889$, тогда заметим следующее: $$abcd = 96(a + b + c + d) \Rightarrow bcd = 96 + 96 \cdot \frac{b + c + d}{a}.$$

Причём так можно сделать с любой цифрой. Тогда докажем, что наименьшая цифра не меньше 5. Пусть это не так. Скажем, не умаляя общности, что $a \le 4$ и $a \le b \le c \le d$. Тогда $$bcd = 96 + 96 \cdot \frac{b + c + d}{a} \ge 96 + 96 \cdot \frac{b + c + d}{4} = 96 + 24(b + c + d).$$

Или же $$d(bc - 24) \ge 96 + 24(b + c).$$

Тогда $bc \ge 24$, так как иначе при сравнении неположительного числа с положительным результат сравнения будет ложным. Тогда имеет место неравенство $$9(bc - 24) \ge d(bc - 24) \ge 96 + 24(b + c).$$

Теперь рассмотрим неравенство $$9(bc - 24) \ge 96 + 24(b + c),$$ $$9bc \ge 312 + 24(b + c),$$ $$b(9c - 24) \ge 312 + 24c.$$

Аналогично скажем, что $9c \ge 24$, иначе сравнение окажется ложным, и вновь воспользуемся тем, что $b \le 9$ и рассмотрим неравенство $$9(9c - 24) \ge b(9c - 24) \ge 312 + 24c.$$

Проверим на истинность: $$81c - 216 \ge 312 + 24c \Rightarrow c \ge \frac{528}{57} > 9.$$

Получили противоречие. Тогда наименьшая цифра числа действительно не меньше 5. Тогда, возвращаясь к $\overline{abcd} < 5889$, $a = 5$, так как значения меньше 4 $a$ не принимает, а в других случаях $\overline{abcd} > 5889$.

Но так как $\overline{abcd}$ кратно 96, а $a = 5$, то $bcd$ кратно 96, причём это число кратно 32 и 3. Поймём, что если среди $b, c, d$ есть 9, то оставшиеся две цифры точно равны 8 и 8, так как возможных чётных цифр больше 4 всего 2 — это 6 и 8, но с учётом кратности произведения этих двух цифр на 32 = $2^5$ подойдут только две восьмёрки, так как степень вхождения двойки в число 6 равна 1, а в число 8 равна 3. Так мы получим уже имеющееся 5889 (поскольку мы определили однозначно все цифры).

Но тогда среди цифр $b, c, d$ однозначно есть цифра 6, поскольку иначе $bcd$ не будет кратно 3 (цифр больше 4 и кратных трём, кроме 6 и 9, нет). Тогда произведение оставшихся цифр кратно 16 = $2^4$. Это либо две 8, либо 8 и 6 (так как двух 6 не хватит для получения $2^4$). Разберём эти случаи: $$\frac{5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 8}{5 + 6 + 6 + 8} = \frac{1440}{25} = 57{,}6 \ne 96,$$ $$\frac{5 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 8}{5 + 6 + 8 + 8} = \frac{1920}{27} = 71\frac{1}{9} \ne 96.$$

Значит, наименьшее число $\overline{abcd}$, при котором $k = 96$, равно 5889.

Ответ:

• [а)]а) Да, может
• [б)] б)1512
• [в)] в)5889

а) Число $1285$ подходит: $$1\cdot 2\cdot 8\cdot 5 = 80 = 5\cdot 16 = 5(1+2+5+8).$$

Следовательно, ответ положительный.

б) Разберём несколько случаев.

• Если в числе $\overline{abcd}$ есть цифра $0$, то неравенство очевидно неверно.
• Если в числе $\overline{abcd}$ есть цифра $1$, возможны два варианта:

1. • Если в числе нет цифры $2$, то произведение цифр не меньше $$1\cdot 3\cdot 4\cdot 5 = 60,$$ а сумма цифр не превосходит $$4\cdot 9 = 36.$$ - Если в числе есть цифры $1$ и $2$, то произведение не меньше $$1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 = 24,$$ а сумма цифр не больше $$1+2+9+9 = 21.$$

• Если наименьшая цифра хотя бы $2$, то, так как все цифры различны, $$a\cdot b\cdot c\cdot d \ge 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 = 120,$$ а $$a+b+c+d \le 9\cdot 4 = 36.$$

Следовательно, неравенство выполняется для всех четырёхзначных чисел с различными цифрами и без цифры $0$.

Количество таких чисел равно $$9\cdot 8\cdot 7\cdot 6 = 3024.$$

в) Очевидно, что при максимальном $k$ ни одна из цифр не равна $0$. Так как $k$ — двузначное число, $k<100$. Начнём перебор.

• $k=99$. Тогда $\overline{abcd}$ делится на $11$, что невозможно для набора цифр.
• $k=98=7^2\cdot 2$. Тогда число делится на $49$, то есть как минимум две цифры равны $7$. Пусть $a=7$, $b=7$, $c=2x$, где $1\le x\le 4$. Тогда $$xd = 14 + 2x + d,$$ $$xd - 2x - d + 2 = 16,$$ $$(x-1)(d-2) = 16.$$ Но при $x\le 4$ и $d\le 9$ имеем $$(x-1)(d-2) \le 2\cdot 4 = 8 < 16,$$ противоречие.
• $k=97$ — простое число, деление невозможно.

Рассмотрим $k=96$. Возьмём цифры $5,8,8,9$. Тогда $$a\cdot b\cdot c\cdot d = 2^6\cdot 3^2\cdot 5, \quad a+b+c+d = 30 = 2\cdot 3\cdot 5,$$ $$k=\frac{2^6\cdot 3^2\cdot 5}{2\cdot 3\cdot 5} =2^5\cdot 3=96.$$

Покажем, что большее число невозможно. Пусть $\overline{abcd}>9885$, тогда $a=9$.

Если $b=9$, то $$\frac{9\cdot 9\cdot 8\cdot 8}{9+9+8+8}=\frac{5184}{34}\ne 96.$$ Если $b=8$, то $$\frac{9\cdot 8\cdot 9\cdot 4}{9+8+9+4}=\frac{2592}{30}\ne 96.$$

Следовательно, $b=8$, $c=8$. Тогда $$9\cdot 8\cdot 8\cdot d = 96(9+8+8+d),$$ $$576d = 96(25+d),$$ $$6d = 25 + d,$$ $$d=5.$$

Таким образом, наибольшее число $\overline{abcd}$, при котором $k$ максимально, равно $$\overline{abcd}=9885.$$

Ответ:

• [a)]а) Да
• [б)] б)$3024$
• [в)] в)$9885$