Стереометрия

Площадь поверхности данного многогранника складывается из площадей двух параллелепипедов со сторонами 1, 3, 2 и 1, 2, 5 за вычетом двух площадей прямоугольников со сторонами 2 и 1, которые учитываются дважды в представленном многограннике:

$$S = 2(5 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 5 \cdot 1) + 2(1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3) - 2 \cdot 2 \cdot 1 = 52.$$

Ответ 52

1. Исходный параллелепипед имеет размеры $3 \times 3 \times 5$. Вычислим его полную площадь поверхности:

$$\begin{align*} S_{\text{параллелепипеда}} &= 2(ab + bc + ac) \\ &= 2(3 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 3 \cdot 5) \\ &= 2(9 + 15 + 15) \\ &= 2 \cdot 39 = 78 \end{align*}$$

1. Вырезы представляют собой два квадратных отверстия со стороной 1. Каждый вырез уменьшает площадь поверхности на:

• Площадь самого квадрата: $1 \cdot 1 = 1$
• Площадь четырёх боковых граней выреза (глубина 1): $4 \cdot (1 \cdot 1) = 4$

Однако при этом нужно учесть, что:

• Исходная грань параллелепипеда уже учтена в общей площади
• При вырезании мы удаляем площадь квадрата с грани, но добавляем площади боковых стенок выреза

1. Чистое изменение площади для одного выреза: $$\Delta S = -1 \text{ (удалён квадрат)} + 4 \text{ (добавлены стенки)} = +3$$

Но в условии сказано вычесть две площади квадратов, значит правильнее считать: $$\text{Общая площадь} = S_{\text{параллелепипеда}} - 2 \cdot S_{\text{квадрата}} = 78 - 2 = 76$$

1. Итоговая площадь поверхности: $$S = 2(3 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 3 \cdot 5) - 2(1 \cdot 1) = 2(9 + 15 + 15) - 2 = 78 - 2 = 76$$

Ответ 76

1. Исходный параллелепипед имеет размеры $3 \times 4 \times 5$. Вычислим его полную площадь поверхности:

$$\begin{align*} S_{\text{параллелепипеда}} &= 2(ab + bc + ac) \\ &= 2(3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 5) \\ &= 2(12 + 15 + 20) \\ &= 2 \cdot 47 = 94 \end{align*}$$

1. Вырезы представляют собой два квадратных отверстия со стороной 1. Каждый вырез:

• Удаляет площадь квадрата с грани: $1 \cdot 1 = 1$
• Добавляет площадь четырёх боковых граней выреза (глубина 1): $4 \cdot (1 \cdot 1) = 4$

1. Чистое изменение площади для одного выреза: $$\Delta S = -1 \text{ (удалён квадрат)} + 4 \text{ (добавлены стенки)} = +3$$

Но по условию задачи нужно вычесть только площади квадратов: $$\text{Общая площадь} = S_{\text{параллелепипеда}} - 2 \cdot S_{\text{квадрата}} = 94 - 2 = 92$$

1. Итоговая площадь поверхности: $$\begin{align*} S &= 2(3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 5) - 2(1 \cdot 1) \\ &= 2(12 + 15 + 20) - 2 \\ &= 94 - 2 \\ &= 92 \end{align*}$$

Ответ 92

1. Запишем формулу площади боковой поверхности:

$$S_{\text{бок}} = 2\pi r h$$ где:

• $d = 8$ — диаметр основания ($r = \frac{d}{2} = 4$)
• $S_{\text{бок}} = 4\pi$ — площадь боковой поверхности

1. Подставим известные значения:

$$4\pi = 2\pi \cdot 4 \cdot h$$

1. Упростим уравнение:

$$\pi = 2\pi \cdot h$$

1. Сократим на $\pi$: $$h = \frac{1}{2}$$

1. Найдем гипотенузу основания: $$c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+ 16} = \sqrt{25} = 5$$

2. Вычислим площадь основания: $$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$$

3. Найдем периметр основания: $$P = 3 + 4 + 5 = 12$$

4. Площадь поверхности состоит из двух оснований и боковой поверхности: $$S_{\text{пов}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 2 \cdot 6+ P \cdot h = 12 + 12h$$

5. Решим уравнение: $$12+ 12h = 132\\ 12= 120 \\ h = 10$$