Стереометрия

1. Найдем гипотенузу основания по теореме Пифагора: $$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+ 64} = \sqrt{100} = 10$$

2. Вычислим периметр основания: $$P = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24$$

3. Площадь боковой поверхности прямой призмы: $$S_{\text{бок}} = P \cdot h = 24\cdot 50 = 1200$$

Найдём объёмы кружек:

$h_1 = 2\cdot h_2$

$r_2 = 1,5\cdot r_1$

$$V_1 = \pi\cdot r^2_1\cdot h_1$$ $$V_2 = \pi\cdot r^2\cdot h_2$$

Найдём их отношение: $$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\pi\cdot r^2\cdot h_2}{\pi\cdot r^2_1\cdot h_1} = \frac{\pi\cdot (1,5\cdot r_1)^2\cdot \frac{h_1}{2}}{\pi\cdot (r_1)^2\cdot h_1} =$$ $$= \frac{\pi\cdot \frac{9}{8}\cdot r^2_1\cdot h_1}{\pi\cdot r^2_1\cdot h_1} = \frac{9}{8} = 1,125$$

Объёмы подобных фигур относятся как коэффициент подобия в кубе. Все стороны отсечённого параллелепипеда в два раза меньше сторон параллелепипеда, который его содержит. Значит коэффициент их подобия равен $\frac{1}{2}$.

Найдём объём большого параллелепипеда $V_1$: $$V_1 = 5\cdot6\cdot8$$

Найдём объём отсечённого параллелепипеда:

$$\frac{V_2}{V_1} = \left(\frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8} \Rightarrow V_2 = \frac{V_1}{8}$$ $$V_2 = \frac{5\cdot6\cdot8}{8} = 30$$

Объём искомой части равен $\frac{1}{4}$ объёма всего конуса, так как $\frac{90^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{4}$. Отношение объёмов равно $\frac{V_{\text{всего}}}{V_{\text{искомая}}}= 4$.

Найдём объём всего конуса: $$V_{\text{всего}} = \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot9^2\cdot 13 \cdot \pi = 27\cdot13\cdot \pi$$

Тогда объём искомой части $V_{\text{искомая}} = \frac{1}{4}\cdot13\cdot27 \cdot \pi = 87,75\cdot\pi$

Делим на $\pi$: $$\frac{87,75\cdot \pi}{\pi} = 87,75$$

Посчитаем объёмы верхнего и нижнего параллелепипедов.

V_1:

Стороны основания верхнего параллелепипеда равны 2 и3, а высота равна 3.

$$V_1 = 2\cdot3\cdot3 = 18$$

V_2:

Стороны основания верхнего параллелепипеда равны 4 и 5, а высота равна 6 - 3 = 3.

$$V_2 = 4\cdot5\cdot3 = 60$$ $$V = V_1 + V_2 = 60 + 18 = 78$$