Стереометрия

Площадь поверхности цилиндра равна:

$$S = 2\cdot \pi \cdot r^2 + 2\cdot \pi \cdot r \cdot h = 30$$ Так как высота цилиндра в данном случае равна двум радиусам основания: $$2\cdot \pi \cdot r^2 + 2\cdot \pi \cdot r \cdot 2\cdot r = 6\pi \cdot r^2 = 30$$

Площадь поверхности шара равна:

$$4\pi r^2$$

Выразим $\pi \cdot r^2$: $$\pi \cdot r^2 = \frac{30}{6} = 5$$

Найдём площадь поверхности шара: $$4\cdot 5 = 20$$

Пусть $a$ – сторона основания первой призмы.

Найдём объём первой призмы: $$V_1 = S_{\text{осн}}\cdot h = \frac{3\sqrt3a^2}{2}\cdot 12 = 18\sqrt3 a^2$$

Найдём объём второй призмы: $$V_2 = S_{\text{осн}}\cdot h = \frac{(2a)^2\sqrt3}{4}\cdot h= 18\sqrt3 a^2 \Leftrightarrow h = 18$$

По теореме Пифагора: $R^2 + h^2 = L^2$. Так как $R = h$, то:

$$R^2 + R^2 = L^2 \quad \Leftrightarrow \quad L^2 = 2R^2 \quad \Leftrightarrow \quad L = R\sqrt{2}.$$

Площадь боковой поверхности конуса:

$$S_{\text{бок. кон}} = \pi RL \quad \Leftrightarrow \quad \pi R \cdot R\sqrt{2} = 27\sqrt{2} \quad \Leftrightarrow \quad \pi R^2 = 27.$$

Площадь боковой поверхности цилиндра:

$$S_{\text{бок. цил}} = 2\pi Rh = 2\pi R^2 = 2\cdot 27 = 54.$$

Высота цилиндра равна двум радиусам вписанного в цилиндр шара, поэтому объём цилиндра, выраженный через радиус вписанного в него шара, даётся формулой $$V_{\text{ц}}=\pi\cdot R^{2}\cdot 2R=2\pi R^{3}.$$ Объём шара вычисляется по формуле $$V_{\text{ш}}=\frac{4}{3}\pi R^{3},$$ откуда имеем: $$\frac{4}{3}\pi R^{3}=42 \Rightarrow R^{3}=\frac{63}{2\pi}\Rightarrow 2\pi R^{3}=63.$$ Тем самым, объём цилиндра равен $63$.

$$\text{Площади поверхностей шаров относятся как квадраты их радиусов, поэтому:}$$

$$\frac{S_2}{S_1}=\frac{R_2^2}{R_1^2}=\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2=\left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2=64.$$

$$\text{Ответ: }64.$$