Стереометрия

1. Так как сфера вписана в куб: $$a = 2r = 2$$ где $a$ - сторона куба, $r=1$ - радиус сферы.

2. Объём куба: $$V = a^3 = 2^3 = 8$$

Объём треугольной пирамиды $AD_1CB_1$ можно найти как: $$V_{\text{пир}} = V_{\text{пар}} - \sum V_{\text{остальных пирамид}}$$

Каждая из четырёх отсекаемых пирамид имеет объём: $$V_i = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}V_{\text{пар}} = \frac{1}{6}V_{\text{пар}}$$

Тогда искомый объём: $$V = V_{\text{пар}} - 4 \cdot \frac{1}{6}V_{\text{пар}} = \left(1 - \frac{2}{3}\right)V_{\text{пар}} = \frac{1}{3}V_{\text{пар}} = \frac{4.5}{3} = 1.5$$

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле: $$S = 2(ab + ac + bc)$$

Пусть известные ребра $a = 3$, $b = 4$, а неизвестное ребро $c = x$. Подставляем известные значения в формулу: $$2(3 \cdot 4 + 3 \cdot x + 4 \cdot x) = 94$$ $$2(12 + 3x + 4x) = 94$$ $$2(12 + 7x) = 94$$ $$24 + 14x = 94$$ $$14x = 70$$ $$x = 5$$

Объем прямоугольного параллелепипеда: $$V_{\text{паралл}} = AB \cdot AD \cdot AA_1 = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$$

Указанный многогранник представляет собой треугольную призму, которая составляет ровно половину объема параллелепипеда: $$V_{\text{многогр}} = \frac{1}{2} V_{\text{паралл}} = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30$$

Найдем третье ребро из формулы объема: $$V = abc \Rightarrow c = \frac{V}{ab} = \frac{6}{1 \cdot 2} = 3$$

Площадь поверхности: $$S = 2(ab + ac + bc) = 2(1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3) = 2(2 + 3 + 6) = 22$$