Стереометрия

$$\begin{align*} (a+1)^3 - a^3 &= 19 \\ 3a^2 + 3a + 1 &= 19 \\ a^2 + a - 6 &= 0 \\ a &= 2 \quad (\text{т.к. } a > 0) \end{align*}$$

$$\begin{align*} 6(a+1)^2 - 6a^2 &= 54 \\ 12a + 6 &= 54 \\ a &= 4 \end{align*}$$

Пусть ребро куба равно $a$. Площадь поверхности куба вычисляется по формуле: $$S = 6a^2$$

Подставляем известное значение площади: $$6a^2 = 128$$

Решаем уравнение относительно $a$: $$a^2 = \frac{128}{6} = \frac{64}{3}$$ $$a = \sqrt{\frac{64}{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}$$

Диагональ куба $d$ вычисляется по формуле: $$d = a\sqrt{3}$$

Подставляем найденное значение $a$: $$d = \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 8$$

Пусть сторона куба равна $a$. Диагональ куба $d$ связана со стороной соотношением: $$d = a\sqrt{3}$$

Выражаем $a$ через $d$: $$a = \frac{d}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Площадь поверхности куба вычисляется по формуле: $$S = 6a^2$$

Подставляем найденное значение $a$: $$S = 6 \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2$$

Площадь поверхности куба вычисляется по формуле: $$S = 6a^2$$ где $a$ — длина ребра.

При увеличении ребра в 3 раза новая площадь поверхности будет: $$S' = 6(3a)^2 = 6 \cdot 9a^2 = 9 \cdot 6a^2 = 9S$$

Таким образом, площадь поверхности увеличится в 9 раз.