Стереометрия

Пусть длина третьего ребра, исходящего из той же вершины, равна $x$. Тогда площадь поверхности параллелепипеда вычисляется по формуле: $$S = 2(ab + bc + ac),$$ где $a = 1$, $b = 2$, $c = x$.

Подставляем известные значения: $$S = 2(1 \cdot 2 + 2 \cdot x + 1 \cdot x) = 2(2 + 2x + x) = 2(2 + 3x) = 4 + 6x.$$

По условию площадь поверхности равна 16: $$4 + 6x = 16 \Rightarrow 6x = 12 \Rightarrow x = 2.$$

Теперь найдём диагональ параллелепипеда по формуле: $$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3.$$

Площадь ромбического основания: $$S = a^2 \sin \alpha = 1^2 \cdot \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Высота параллелепипеда (перпендикуляр к основанию): $$H = L \cdot \sin 60° = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$

Объем параллелепипеда: $$V = S \cdot H = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{2} = 1.5$$

Так как цилиндр вписан в параллелепипед: $$a = b = 2r = 8$$

Из объема параллелепипеда найдем высоту: $$V = a \cdot b \cdot h = 16$$ $$8 \cdot 8 \cdot h = 16$$ $$h = \frac{16}{64} = 0.25$$

Площадь большого круга шара вычисляется по формуле: $$S_{\text{круга}} = \pi R^2 = 3$$

Площадь поверхности всего шара в 4 раза больше площади большого круга: $$S_{\text{шара}} = 4\pi R^2 = 4 \times 3 = 12$$