Стереометрия

Объемы шаров: $$V_1 = \frac{4}{3}\pi 6^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216$$ $$V_2 = \frac{4}{3}\pi 8^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 512$$ $$V_3 = \frac{4}{3}\pi 10^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 1000$$

Сумма объемов: $$V_{\text{сум}} = V_1 + V_2 + V_3 = \frac{4}{3}\pi(216 + 512 + 1000) = \frac{4}{3}\pi \cdot 1728$$

Найдем радиус шара с таким объемом: $$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 1728$$ $$R^3 = 1728$$ $$R = 12$$

Исходный объем: $$V = \frac{4}{3}\pi r^3$$

Новый объем при увеличении радиуса в 3 раза: $$V' = \frac{4}{3}\pi (3r)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27r^3 = 27V$$

По условию, меньший конус (жидкость) подобен большему конусу (сосуду) с коэффициентом подобия: $$k = \frac{1}{2}$$

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия: $$\frac{V_{\text{малый}}}{V_{\text{большой}}} = k^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$$

Выразим объём большого конуса через объём малого: $$V_{\text{большой}} = 27 \cdot V_{\text{малый}} = 8 \cdot 70\,\text{мл} = 560\,\text{мл}$$

Поскольку в сосуде уже находится 70 мл жидкости, необходимо долить: $$V_{\text{долить}} = V_{\text{большой}} - V_{\text{малый}} = 560\,\text{мл} - 70\,\text{мл} = 490\,\text{мл}$$

По условию, меньший конус (жидкость) подобен большему конусу (сосуду) с коэффициентом подобия: $$k = \frac{1}{3}$$

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия: $$\frac{V_{\text{малый}}}{V_{\text{большой}}} = k^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$$

Выразим объём большого конуса через объём малого: $$V_{\text{большой}} = 27 \cdot V_{\text{малый}} = 27 \cdot 14\,\text{мл} = 378\,\text{мл}$$

Поскольку в сосуде уже находится 4 мл жидкости, необходимо долить: $$V_{\text{долить}} = V_{\text{большой}} - V_{\text{малый}} = 378\,\text{мл} - 14\,\text{мл} = 364\,\text{мл}$$

Исходный конус имеет объем: $$V_{\text{больш}} = \frac{1}{3}\pi R^2 H = 16$$

Меньший конус подобен большему с коэффициентом подобия: $$k = \frac{1}{2}$$ (так как сечение проведено на половине высоты)

Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия: $$\frac{V_{\text{мал}}}{V_{\text{больш}}} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$$

Объем меньшего конуса: $$V_{\text{мал}} = \frac{1}{8} \times 16 = 2$$