Простейшие уравнения

$$\log_3 (x^2 + 2x) = \log_3 (x^2 + 10)$$ Поскольку логарифмы равны, приравняем подлогарифмические выражения: $$x^2 + 2x = x^2 + 10$$ $$2x = 10$$ $$x = 5$$ Проверим область определения: $$x^2 + 2x > 0 \quad \text{и} \quad x^2 + 10 > 0$$ Для $x = 5$ условия выполняются.

$$\log_5 (7 - x) = \log_5 (3 - x) + 1$$ Перенесём логарифм влево: $$\log_5 (7 - x) - \log_5 (3 - x) = 1$$ Используем свойство логарифмов: $$\log_5 \left(\frac{7 - x}{3 - x}\right) = 1$$ Перейдём к экспоненциальной форме: $$\frac{7 - x}{3 - x} = 5^1$$ $$7 - x = 15 - 5x$$ $$4x = 8$$ $$x = 2$$ Проверим область определения: $$7 - x > 0 \quad \text{и} \quad 3 - x > 0$$ Для $x = 2$ условия выполняются.

$$\log_8 2^{8x-4} = 4$$ Используем свойство логарифмов: $$2^{8x-4} = 8^4$$ Приведём степени к одному основанию: $$2^{8x-4} = (2^3)^4$$ $$2^{8x-4} = 2^{12}$$ Поскольку основания равны, приравняем показатели: $$8x - 4 = 12$$ $$8x = 16$$ $$x = 2$$

Ограничения: $x \geq 0$.

1. Возводим обе части в квадрат: $$-72 + 17x = x^2$$

2. Переносим все в одну сторону: $$x^2 - 17x + 72 = 0$$

3. Решаем квадратное уравнение: $$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 288}}{2} = \frac{17 \pm 1}{2}$$ $$x_1 = 9, \quad x_2 = 8$$

Оба корня удовлетворяют ограничению $x \geq0$, поэтому выбираем наименьший из них.

1. Возводим обе части в квадрат: $$\frac{18}{2x - 52} = \frac{1}{64}$$

2. Решаем уравнение: $$18 \cdot 64 = 2x - 52$$ $$1152 = 2x - 52 \quad \Rightarrow \quad 2x = 1204 \quad \Rightarrow \quad x = 602$$

3. Проверяем ограничения: $$2x - 52 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 26$$ $x = 602$ удовлетворяет условию.