Простейшие уравнения

1. Применим разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $$(x-15)^2 - (x+5)^2 = 0$$ $$(x-15-x-5)(x-15+x+5) = 0$$ $$(-20)(2x-10) = 0 \Rightarrow x = 5$$

По определению логарифма: $$x^5 = 32 \quad \Leftrightarrow \quad x^5 = 2^5$$

Так как степень нечётная, решением данного уравнения будет только число 2.

Проверим ограничения:

$$\begin{cases}
      x\neq1\\
      x > 0
\end{cases}$$\,

$x = 2$ удовлетворяет всем условиям.

1. Отбрасываем логарифмы (основания равны): $$x^2 + 5x = x^2 + 6$$

2. Решаем уравнение: $$5x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 1.2$$

3. Проверяем ограничения:

$$x^2 + 5x > 0 \quad \text{и} \quad x^2 + 6 > 0$$ $x = 1,2$ удовлетворяет условиям.

1. По определению логарифма: $$(x-1)^2 = 81$$

2. Решаем уравнение: $$(x-1)^2 - 81 = 0 \Leftrightarrow (x - 1 - 9)(x - 1 + 9) = 0 \Leftrightarrow (x - 10)(x + 8) = 0$$

3. Проверяем ограничения:

   $$\begin{cases} x - 1\neq1\\ x - 1> 0 \end{cases}$$,

Подходит только $x = 10$.

1. Преобразуем логарифм с основанием 0.5: $$\log_{0.5}(x+1) = \log_{2^{-1}}(x+1) = -\log_2(x+1)$$

2. Переносим все в одну сторону: $$\log_2\left(\frac{x}{6}\right) + \log_2(x+1) = 0$$

3. Объединяем логарифмы: $$\log_2\left(\frac{x(x+1)}{6}\right) = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{x(x+1)}{6} = 1$$

4. Решаем уравнение: $$x^2 + x - 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \quad \text{или} \quad x = -3$$

5. Проверяем ограничения: $$\frac{x}{6} > 0 \quad \text{и} \quad x+1 > 0$$ Подходит только $x = 2$.