Вычисления и преобразования

Выполним преобразования:

$$(\sqrt{13}-\sqrt{8})(\sqrt{13}+\sqrt{8})=13-8=5.$$

Выполним преобразования:

$$(17a^{12}b^3-(5a^4b)^3):(4a^{12}b^3)=(17a^{12}b^3-125a^{12}b^3):(4a^{12}b^3)$$

$$=-108a^{12}b^3:(4a^{12}b^3)=-27.$$

Используем формулу косинуса двойного угла: $2\cos^2\alpha-1=\cos 2\alpha$:

$$\sqrt{48}\cos^2\frac{19\pi}{12}-\sqrt{12} =\sqrt{12}\left(2\cos^2\frac{19\pi}{12}-1\right) =\sqrt{12}\cos\frac{19\pi}{6}.$$

Теперь воспользуемся периодичностью и четностью косинуса:

$$\sqrt{12}\cos\frac{19\pi}{6} =\sqrt{12}\cos\left(4\pi-\frac{5\pi}{6}\right) =\sqrt{12}\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right) =\sqrt{12}\cos\frac{5\pi}{6} =2\sqrt{3}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-3.$$

Решение. Выполним преобразования: $$\frac{2\sin 136^\circ}{\sin 68^\circ \cdot \sin 22^\circ} =\frac{4\sin 68^\circ \cos 68^\circ}{\sin 68^\circ \sin 22^\circ} =\frac{4\cos 68^\circ}{\sin 22^\circ} =\frac{4\cos(90^\circ-22^\circ)}{\sin 22^\circ} =\frac{4\sin 22^\circ}{\sin 22^\circ}=4.$$

По формуле синуса двойного угла имеем:

$$\frac{4\sin 41^\circ\cdot \cos 41^\circ}{\sin 82^\circ} = \frac{4\sin 41^\circ\cdot \cos 41^\circ}{\sin(2\cdot 41^\circ)} = \frac{4\sin 41^\circ\cdot \cos 41^\circ}{2\sin 41^\circ\cdot \cos 41^\circ} =2.$$