Производная и первообразная

Так как касательная параллельна прямой $y = -2x - 11$, то их угловые коэффициенты равны между собой. Значение производной функции $y = f(x)$ в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной (угловой коэффициент $k$).

Значит, нам нужно найти количество точек, в которых производная $f'(x)$ равна $-2$ (-2 – угловой коэффициент прямой $y = -2x - 11$).

Из графика видно, что $f'(x) = -2$ в пяти точках.

Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Пусть $A = (2, 3)$, $B = (7, -4)$, $C = (2, -4)$.

Тогда:

$$f'(x_0) = -\tg \angle ABC = -\frac{7}{5} = -1,4$$

Знак минус обусловлен убыванием функции.

Производная функции неположительна на промежутках убывания этой функции, поэтому точки принадлежащие промежуткам возрастания функции можно не рассматривать, так как в них производная неотрицательна.

Чем быстрее убывает функция, тем меньше значение её производной. Найдём точки, принадлежащие промежуткам убывания функции: $-2; -1$.

Точка $-1$ принадлежит промежутку, на котором функция убывает быстрее, следовательно значение производной в ней будет наименьшим.

Геометрический смысл определённого интеграла заключается в том, что его численное значение равно площади под графиком подынтегральной функции.

График функции представляет собой трапецию. На промежутке от $1$ до $5$ её можно разбить на прямоугольный треугольник со сторонами $2$ и $4$ и прямоугольник со сторонами $2$ и $4$.

Определённый интеграл $\int_{1}^{5} f(x) \, dx$ равен сумме площадей прямоугольника и треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника равна $2\cdot4\cdot \frac{1}{2} = 4$.

Площадь прямоугольника равна $2\cdot4 = 8$.

$$\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 8 + 4 = 12$$

Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Пусть $A = (-2, -2)$, $B = (4, -5)$, $C = (-2, -5)$.

Тогда:

$$f'(x_0) = -\tg \angle ABC = \frac{AC}{CB} = -\frac{3}{6} = -0,5$$

Знак минус обусловлен убыванием функции.