Производная и первообразная

Значения производной отрицательны на промежутках убывания функции. На графике производная равна 0 на отрезке в точке $x = 3$, причём её значения менялись из отрицательных в положительные, следовательно $x = 3$ – точка минимума функции.

Значит, функция принимает наименьшее значение в точке $x = 3$.

Производная в точке касания равна тангенсу угла наклона касательной, т.е её угловому коэффициенту. Касательная к графику функции $y = f(x)$ должна быть параллельна прямой $y = 10 - 7x$, значит её угловой коэффициент должен быть равен $-7$ или $y = f'(x) = -7$. Производная равна $-5$ в точке $x = -2$.

Напомним, что если функция непрерывна на отрезке [a; b], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (a; b), то функция возрастает (убывает) на отрезке [a; b].

Таким образом, функция f, график производной которой дан в условии, возрастает на отрезках [−5; −3] и [3; 5] и убывает на отрезке [−3; 3].

Из этого следует, что f принимает наименьшее значение на левой границе отрезка, в точке −5, или в точке минимума хmin  =  3. В силу возрастания f на отрезке [3; 5] справедливо неравенство f (5) > f (3). Поскольку по условию f (−5) не меньше, чем f (5), справедлива оценка f (−5) > f (3).

Таким образом, наименьшего значения функция f достигает в точке 3. График одной из функций, удовлетворяющих условию, приведён на рисунке.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой $y=-x+20$ или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны $-1$.

Найдём количество точек, в которых $f'(x)=-1$, это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой $y=-1$. Таких точек $2$.

Cмена знака производной с положительного на отрицательный соответствует точке максимума, следовательно, в точке с абсциссой −2 достигается наибольшее значение функции.