Производная и первообразная

Условие касания графика функции $y=f(x)$ и прямой $y=kx+b$ задаётся системой требований: $$\begin{cases} f'(x)=k,\\ f(x)=kx+b. \end{cases}$$

В нашем случае имеем: $$\begin{cases} 16x+b=-5,\\ 8x^2+bx+11=-5x-7. \end{cases}$$

$$\Rightarrow \begin{cases} b=-5-16x,\\ 8x^2+( -5-16x+5)x+18=0. \end{cases}$$

$$\Rightarrow x^2=\frac{9}{4}.$$

По условию, абсцисса точки касания положительна, поэтому $x=1{,}5$, $b=-29$.

Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с отрицательного на положительный. На интервале (1; 10) функция имеет одну точку минимума x  =  9.

Функция f, график производной которой дан в условии, возрастает на полуинтервале отрезке (−10; −9] и на отрезке [−5; −2] и убывает на отрезке [−9; −5] и на полуинтервале [−2; 2).

Схематично изобразим поведение функции:

Наибольшее значение данная функция может принимать только в точках максимума. Учитывая, что $f(-4)=f(-9)$, получаем

$$f(-9)=f(-4)<f(-2),$$

Значит, наибольшее значение функции достигается в точке $x_0=-2$.

Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной. Производная меняет знак в точках −7, 3, 5. Тем самым, на отрезке [−4; 10] функция имеет 2 точки экстремума.

Из графика находим, что наименьшее значение функции f (x) на отрезке [1; 6,5] достигается в точке 4 (самая нижняя ордината графика на данном отрезке) и равно y(4) = -4.