Задачи с прикладным содержанием

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону $$H(t) = at^2 + bt + H_0$$ где:

• $H$ — высота столба воды в метрах,
• $H_0 = 3 \, \text{м}$ — начальный уровень воды,
• $a = \frac{1}{768} \, \text{м/мин}^2$ и $b = -\frac{1}{8} \, \text{м/мин}$ — постоянные,
• $t$ — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана.

В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Источник: БАНК ФИПИ.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $\varphi = \omega t + \frac{\beta t^2}{2}$, где $t$ — время в минутах, $\omega = 15^\circ/\text{мин}$ — начальная угловая скорость вращения катушки, а $\beta = 6^\circ/\text{мин}^2$ — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки $\varphi$ достиг 2250°. Ответ дайте в минутах.

Источник: БАНК ФИПИ.

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t) = 1{,}6 + 13t - 5t^2$, где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 6 метров?

Источник: БАНК ФИПИ.

Автомобиль, движущийся со скоростью $v_0 = 24\, \text{м/с}$, начал торможение с постоянным ускорением $a = 3\, \text{м/с}^2$. За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь $S = v_0t - \frac{at^2}{2}$ (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 90 метров. Ответ дайте в секундах.

Источник: ЕГЭ 2024. Основная волна.

Мотоцикл, движущийся по городу со скоростью $v_0 = 60\, \text{км/ч}$, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 18\, \text{км/ч}^2$. Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле $S = v_0 t + \frac{at^2}{2}$, где $t$ — время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 21 км. Ответ дайте в минутах.

Источник: Банк ФИПИ