Задачи с прикладным содержанием

Подставляем $q$ в формулу выручки: $$320 = p \cdot (120 - 10p)$$

Раскрываем скобки: $$320 = 120p - 10p^2$$

Переносим все члены в одну сторону: $$10p^2 - 120p + 320 = 0$$

Делим уравнение на 10: $$p^2 - 12p + 32 = 0$$

Вычисляем дискриминант: $$D = 144 - 128 = 16$$

Находим корни: $$p_1 = \frac{12 + 4}{2} = 8$$ $$p_2 = \frac{12 - 4}{2} = 4$$

Анализируем решение:

• При $p = 4$: $q = 80$, $r = 320$ тыс. руб.
• При $p = 8$: $q = 40$, $r = 320$ тыс. руб.
• По условию требуется наибольшая цена

Решение: Установим момент полного опорожнения ($H(t) = 0$): $$0 = \frac{1}{98}t^2 - \frac{4}{7}t + 8$$

Умножим все члены уравнения на 98: $$0 = t^2 - 56t + 784$$

Решим квадратное уравнение: $$t = \frac{56 \pm \sqrt{56^2 - 4 \cdot 1 \cdot 784}}{2} = \frac{56 \pm \sqrt{3136 - 3136}}{2} = \frac{56}{2} = 28\,\text{минут}$$

Ответ: 28

Уравнение для предельной температуры: $$1800 = 1380 + 165t - 15t^2$$

Перенесём все слагаемые: $$15t^2 - 165t + 420 = 0$$

Сократим на 15: $$t^2 - 11t + 28 = 0$$

Найдём корни: $$t = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2} = \frac{11 \pm 3}{2}$$ $$t_1 = 7\,\text{мин}, t_2 = 4\,\text{мин}$$

Анализ решения:

• При $t = 4$ мин — первое достижение 1800 K
• При $t = 7$ мин — второе достижение 1800 K (парабола)

Максимальное безопасное время — 4 минуты.

Ответ: 4

Уравнение для полного опорожнения: $$0 = \frac{1}{588}t^2 - \frac{1}{7}t + 3$$

Умножим на 588: $$0 = t^2 - 84t + 1764$$

Решим уравнение: $$t = \frac{84 \pm \sqrt{84^2 - 4 \cdot 1764}}{2} = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 7056}}{2} = \frac{84}{2} = 42\,\text{минуты}$$

Ответ: 42

Установим момент полного опорожнения ($H(t) = 0$): $$0 = \frac{1}{81}t^2 - \frac{5}{9}t + 6,25$$

Умножим все члены уравнения на 81: $$0 = t^2 - 45t + 506,25$$

Решим квадратное уравнение: $$t = \frac{45 \pm \sqrt{45^2 - 4 \cdot 1 \cdot 506,25}}{2} = \frac{45 \pm \sqrt{2025 - 2025}}{2} = \frac{45}{2} = 22,5\,\text{минут}$$

Ответ: 22,5