Задачи с прикладным содержанием

Подставим известные значения в формулу: $$\frac{100}{0{,}5} \ctg \alpha \leq 200$$

Упростим выражение: $$200 \ctg \alpha \leq 200 \Rightarrow \ctg \alpha \leq 1$$

Переведём котангенс в тангенс: $$\tan \alpha \geq 1$$

Найдём минимальный угол: $$\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$$

Ответ. 45

Решим неравенство: $$5 \sin \pi t \geq 2{,}5 \Rightarrow \sin \pi t \geq 0{,}5$$

Найдём интервалы времени: $$\frac{\pi}{6} \leq \pi t \leq \frac{5\pi}{6} \Rightarrow \frac{1}{6} \leq t \leq \frac{5}{6}$$

Вычислим длину интервала: $$\frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \approx 0{,}666... \text{ с}$$

Округлим до сотых: $$0{,}67 \text{ с}$$

Ответ. 0{,}67

Подставим значения в формулу: $$1000 \cdot 2 \cdot 3\cdot10^{-3} \cdot (0,5)^2 \cdot \sin\alpha \geq 0,75$$

Вычислим коэффициенты: $$1,5 \sin\alpha \geq 0,75$$

Решим неравенство: $$\sin\alpha \geq \frac{0,75}{1,5} = 0,5$$

Найдём минимальный угол: $$\alpha = \arcsin(0,5) = 30^\circ$$

Ответ. 30

Решим неравенство: $$2 \sin(120^\circ t - 30^\circ) \geq 1 \Rightarrow \sin(120^\circ t - 30^\circ) \geq 0,5$$

Найдём интервалы времени: $$120^\circ t - 30^\circ \in [30^\circ + 360^\circ n, 150^\circ + 360^\circ n]$$

Для первой секунды ($n=0$): $$30^\circ \leq 120^\circ t - 30^\circ \leq 150^\circ \Rightarrow 0,5 \leq t \leq 1$$

Вычислим длительность: $$\Delta t = 1 - 0,5 = 0,5 \text{ с} = 50\%$$

Ответ. 50

Подставим известные значения в уравнение температуры: $$1870 = 1600 + 105t - 5t^2$$

Перенесём все слагаемые в левую часть: $$5t^2 - 105t + 1600 - 1870 = 0$$ $$5t^2 - 105t - 270 = 0$$

Разделим уравнение на 5 для упрощения: $$t^2 - 21t + 54 = 0$$

Решим квадратное уравнение: $$D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 54 = 441 - 216 = 225$$ $$t = \frac{21 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{21 \pm 15}{2}$$

Получаем два корня: $$t_1 = \frac{21 + 15}{2} = 18 \quad \text{и} \quad t_2 = \frac{21 - 15}{2} = 3$$

Анализируем полученные решения:

• При $t = 3$ минуты температура достигает 1870 K - это момент, когда прибор нужно отключить.
• При $t = 18$ минут температура снова достигает 1870 K, но это уже момент перегрева прибора.

Ответ: 3