Задачи с прикладным содержанием

Найдём скорость через 1 секунд: $$v = 0{,}5 \sin\left(\frac{2\pi \cdot 1}{12}\right) = 0{,}5 \sin\left(\frac{\pi }{6}\right) = 0,25$$

Найдём кинетическую энергию: $$E = \frac{0{,}08 \cdot (0{,}25)^2}{2} = \frac{0{,}08\cdot0,0625}{2} = 0{,}0025 \, \text{Дж}$$

Ответ: 0{,}0025

Решение

• Фокусное расстояние линзы $f = 30 \, \text{см}$
• Диапазон расстояний до предмета: $30 \leq d_1 \leq 50 \, \text{см}$
• Диапазон расстояний до экрана: $150 \leq d_2 \leq 180 \, \text{см}$

Запишем формулу тонкой линзы: $$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}$$

Чтобы найти минимальное $d_1$, нужно максимизировать $\frac{1}{d_1}$. Для этого минимизируем $\frac{1}{d_2}$, что соответствует максимальному $d_2$.

Подставляем максимальное значение $d_2 = 120 \, \text{см}$: $$\frac{1}{d_1} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d_2} = \frac{1}{30} - \frac{1}{180}$$

Вычисляем правую часть: $$\frac{1}{30} - \frac{1}{180} = \frac{6}{180} - \frac{1}{180} = \frac{5}{180} = \frac{1}{36}$$

Получаем: $$\frac{1}{d_1} = \frac{1}{36}$$ $$d_1 = 36\, \text{см}$$

Проверим, что полученное значение находится в допустимом диапазоне: $$30 \leq 36 \leq 50 \, \text{см}$$

Ответ 36

$$U = \frac{60\cdot R}{R + 0,8} \leq 55 \Leftrightarrow \frac{12\cdot R}{R +\tfrac{4}{5}} \leq 11 \Leftrightarrow \frac{12\cdot R - 11R - \frac{44}{5}}{R +\tfrac{4}{5}} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{R - \frac{44}{5}}{R +\tfrac{4}{5}} \leq 0$$

Отсюда: $$R \geq \frac{44}{5} \text{ или } R \leq -\frac{4}{5}$$

Нам подходит значение $R = \frac{44}{5} = 8,8$.

Дано: $l = 0{,}8$ км, $v = 120$ км/ч

Формула: $v = \sqrt{2la}$

Возводим обе части в квадрат: $$v^2 = 2la$$ $$a = \frac{v^2}{2l} = \frac{120^2}{2 \cdot 0{,}8} = \frac{14400}{1{,}6} = 9000$$

Решение.

Выражаем $\frac{1}{d_1}$: $$\frac{1}{d_1} = \frac{1}{30} - \frac{1}{d_2}.$$

Для минимального $d_1$ правая часть должна быть максимальной. Это достигается при максимальном $d_2 = 180\ \text{см}$: $$\frac{1}{d_1} = \frac{1}{30} - \frac{1}{180} = \frac{6 - 1}{180} = \frac{5}{180} = \frac{1}{36}.$$

Находим $d_1$: $$d_1 = 36\ \text{см}.$$

Проверяем ограничение: $36 \in [20, 40]$.

Ответ. 36