Задачи с прикладным содержанием

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_0 = 170 \, \text{Гц}$ и определяется следующим выражением: $$f = f_0 \cdot \frac{c + u}{c - v},$$ где:

• $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с)
• $u = 2 \, \text{м/с}$ — скорость приёмника относительно среды
• $v = 17 \, \text{м/с}$ — скорость источника относительно среды

Определите максимальную скорость $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде, при которой частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $180 \, \text{Гц}$.

Два тела массой $m=2$ кг каждое, движутся с одинаковой скоростью $v=10$ м/с под углом $2\alpha$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, определяется выражением

$$Q=mv^2\sin^2\alpha.$$ Под каким наименьшим углом $2\alpha$ (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате столкновения выделилось не менее $50$ Дж?

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой

$$\eta=\frac{T_1-T_2}{T_1}\cdot 100\%,$$ где $T_1$ — температура нагревателя (в градусах Кельвина), $T_2$ — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя $T_1$ КПД этого двигателя будет не меньше $15\%$, если температура холодильника $T_2=340$ K? Ответ выразите в градусах Кельвина.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы:

$$T(t)=T_0+bt+at^2,$$ где $t$ — время (в мин.), $T_0=680$ К, $a=-16$ К/мин$^2$, $b=224$ К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1400 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить.

Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону

$$\varphi=\omega t+\frac{\beta t^2}{2},$$ где $t$ — время в минутах, $\omega=40^\circ/\text{мин}$ — начальная угловая скорость вращения катушки, а $\beta=4^\circ/\text{мин}^2$ — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки $\varphi$ достигнет $3000^\circ$. Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ выразите в минутах.