Задачи с прикладным содержанием

Задача сводится к решению неравенства $U_0\sin(\omega t+\varphi)\geqslant 1$ при заданных значениях амплитуды сигнала, частоты и фазы:

$$2\sin(150^\circ t+45^\circ)\geqslant 1 \Leftrightarrow \sin(150^\circ t+45^\circ)\geqslant \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 150^\circ t+45^\circ \ge 30^\circ+360^\circ n,\\ 150^\circ t+45^\circ \le 150^\circ+360^\circ n, \end{array} \right. \quad n\in\mathbb{Z}$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 150^\circ t>-15^\circ+360^\circ n,\\ 150^\circ t<105^\circ+360^\circ n, \end{array} \right. \Leftrightarrow -0{,}1+2{,}4n\le t \le 0{,}7+2{,}4n \Leftrightarrow 0\le t\le 0{,}7.$$

На протяжении первой секунды лампочка будет гореть 0,7с, то есть 70% времени.

Найдём скорость груза через 12 секунд после начала колебаний:

$$v=v_0\cos\frac{2\pi t}{T}=0,4\cdot \cos\frac{2\pi\cdot 12}{2}=0,4\cdot \cos 12\pi=0,4\cdot 1=0,4,$$

Найдём кинетическую энергию груза через 12 секунд после начала колебаний:

$$E=\frac{mv^2}{2}=\frac{0{,}15\cdot 0{,}4^2}{2}=0{,}012$$

Задача сводится к нахождению решения уравнения $\pi(q)=900\ 000$ руб. при заданных значениях цены за единицу $p=400$ руб., переменных затрат на производство одной единицы продукции $v=200$ руб. и постоянных расходов предприятия $f=600\ 000$ руб. в месяц:

$$\pi(q)=900\ 000 \Leftrightarrow q(p-v)-f_0=900\ 000 \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow q(400-200)-600\ 000=900\ 000 \Leftrightarrow q=7500.$$

Мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если $S\le 30\ \text{км}$. Задача сводится к нахождению наибольшего решения неравенства

$$S\le 30 \Leftrightarrow 6t^2+57t\le 30 \Leftrightarrow 6t^2+57t-30\le 0 \Leftrightarrow 2t^2+19t-10\le 0$$

$$\Leftrightarrow \frac{-19-\sqrt{361+80}}{4}\le t\le \frac{-19+\sqrt{361+80}}{4}\Leftrightarrow -10\le t\le 0{,}5.$$

Учитывая, что время — неотрицательная величина, получаем $t\le 0{,}5\ \text{ч}$, то есть $t\le 30\ \text{мин}$.

Задача сводится к нахождению решения уравнения $\pi(q)=500\,000$ руб. при заданных значениях цены за единицу $p=600$ руб., переменных затрат на производство одной единицы продукции $v=400$ руб. и постоянных расходов предприятия $f=600\,000$ руб. в месяц:

$$\pi(q)=500\,000 \Leftrightarrow q(p-v)-f_0=500\,000$$

$$\Leftrightarrow q(600-400)-600\,000=500\,000 \Leftrightarrow q=5500.$$