Относительное движение графиков

Перепишем уравнение в виде $f(x)=g(x)$, где $$f(x)=\sqrt{9-(x+4)^2}$$ $$g(x)=-a(x-2)+3$$ Графиком $y=f(x)$ является верхняя полуокружность окружности $y^2+(x+4)^2=9$, график $y=g(x)$ представляет собой семейство прямых, проходящих через точку $(2;3)$.

Полученная система имеет единственное решение, когда $y=-a(x-2)+3$ - семейство прямых, проходящих через точку $(2;3)$, имеет с графиком полуокружности ровно одну общую точку. Найдём пограничные точки и определим количество решений для всех $a$:

Таким образом собираем ответ:

$a\in [-1; -\frac{1}{3}) \cup \{0\}$

Преобразуем исходное уравнение: $$|x^2 - 2x| = a(x - 2) - 1$$ Обозначим $f(x) = |x^2 - 2x|$, а $g(x) = a(x - 2) - 1$.

Графиком функции $f(x)$ является парабола, часть которой (ниже оси абсцисс) отражена засчёт модуля.

Графиком функции $g(x)$ является прямая, которая вращается вокруг точки $(2; -1)$.

Построим графики функций и отметим граничные случаи:

Исходное уравнение имеет единственное решение тогда, когда графики функций $f(x)$ и $g(x)$ имеют ровно одну точку пересечения.

На графике отмечены два единственных случая:

1. Прямая $y = a(x - 2) - 1$ касается правой ветви параболы $y = x^2 - 2x, x \geq 2$.

2. Прямая $y = a(x - 2) - 1$ пересекает точку $(0; 0)$.

Рассмотрим первый случай. $$a(x - 2) - 1 = x^2 - 2x \Leftrightarrow x^2-x(a + 2) +2a + 1 = 0$$ $$D = (a + 2)^2 - 4(2a + 1) = 0 \Leftrightarrow a =0 \text{ или } a = 4$$ Нам подходит значение $a = 4$, так как при $a = 0$ прямая будет касаться части параболы, которой не существует на графике.

Рассмотрим второй случай. $$g(0) = 0 \Leftrightarrow a(0 - 2) - 1 = 0 \Leftrightarrow a = -\frac{1}{2}$$

Получаем ответ: $$a \in \left\{-\frac{1}{2};4\right\}$$

Ответ: $\left\{-\frac{1}{2};4\right\}$

Положим $x^2=t$. Тогда:

• при $t<0$ решений по $x$ нет;
• при $t=0$ получаем одно решение $x=0$;
• при $t>0$ получаем два различных решения $x$.

Тогда система принимает вид $$\begin{cases} t^2+y^2=a^2,\\ t+y=\lvert a+1\rvert. \end{cases}$$

Первое уравнение задаёт либо точку, либо окружность. Случай с точкой нам не подходит, потому что тогда система максимум может иметь одно решение.

Значит, первое уравнение задаёт окружность радиуса $R=\lvert a\rvert$, а второе — прямую. Окружность и прямая могут иметь $0$, $1$ или $2$ точки пересечения. Следовательно, чтобы после обратной замены $t=x^2$ получить четыре решения, необходимо, чтобы прямая имела с окружностью две точки пересечения, причём их абсциссы $t$ были положительными (тогда каждому $t>0$ соответствуют два значения $x$).

Рассмотрим рисунок: подходящими будут те прямые, которые расположены между $AB$ и $CD$.

Выше прямой $AB$: $$\lvert a+1\rvert>EA=R=\lvert a\rvert;$$ ниже прямой $CD$: $$\lvert a+1\rvert<EC=CD:\ \sqrt2=2EF:\ \sqrt2=\sqrt2R=\sqrt2\lvert a\rvert.$$ Следовательно, $$\lvert a\rvert<\lvert a+1\rvert<\sqrt2\lvert a\rvert \Longleftrightarrow \begin{cases} \lvert a+1\rvert>\lvert a\rvert,\\ \lvert a+1\rvert<\sqrt2\lvert a\rvert \end{cases} \Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a<-1\\ -a-1>-a\\ -a-1<-\sqrt2a\\[2mm] -1\le a\le 0\\ a+1>-a\\ a+1<-\sqrt2a\\[2mm] a>0\\ a+1>a\\ a+1<\sqrt2a \end{array} \right.$$

Получаем $$a\in\left(-\frac12;\,-\frac{1}{\sqrt2+1}\right)\cup \left(\frac{1}{\sqrt2-1};+\infty\right).$$

Ответ: $$a\in(-0{,}5;\,1-\sqrt2)\cup(1+\sqrt2;\,+\infty).$$

Решение.

Рассмотрим первое уравнение системы. Заметим, что параметр $a$ неотрицателен, так как иначе сумма модулей была бы отрицательным числом, чего быть не может. При $a = 0$ получаем $x = y = 0$, что противоречит второму уравнению системы. Уравнение $|x| + |y| = a$ при $a > 0$ имеет вид квадрата с вершинами на координатных осях и диагоналями, равными $2a$. График второго уравнения получается из графика функции $y = \sqrt{x}$, сдвигом на девять единиц влево вдоль оси абсцисс.

При $a = 3$ система имеет ровно одно решение, а при $a = 9$ — 3 решения. Найдём, при каком значении параметра график корня касается стороны квадрата. Для этого определим, при каких параметрах $a$ уравнение $|x| + \sqrt{x + 9} = a$ имеет единственное решение. Имеем: $$\begin{cases} x \ge 0,\\[2pt] |x| + \sqrt{x + 9} = a \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x \ge 0,\\[2pt] x + \sqrt{x + 9} = a, \end{cases} \qquad \begin{cases} x < 0,\\[2pt] |x| + \sqrt{x + 9} = a \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x < 0,\\[2pt] -x + \sqrt{x + 9} = a. \end{cases}$$

$$\begin{cases} x \ge 0,\\[2pt] a - x \ge 0,\\[2pt] x^2 - x(2a + 1) + a^2 - 9 = 0, \end{cases} \qquad \begin{cases} x < 0,\\[2pt] a + x > 0,\\[2pt] x^2 + x(2a - 1) + a^2 - 9 = 0. \end{cases}$$

Уравнение $x^2 - x(2a + 1) + a^2 - 9 = 0$ имеет единственное решение в том случае, если дискриминант равен нулю. Решим уравнение $D = 0$: $$(2a + 1)^2 - 4(a^2 - 9) = 0 \Longleftrightarrow 4a + 37 = 0 \Longleftrightarrow a = -9{,}25.$$

Уравнение $x^2 + x(2a - 1) + a^2 - 9 = 0$ имеет единственное решение в том случае, если дискриминант равен нулю. Решим уравнение $D = 0$: $$(2a - 1)^2 - 4(a^2 - 9) = 0 \Longleftrightarrow -4a + 37 = 0 \Longleftrightarrow a = 9{,}25.$$

Учитывая, что $a > 0$, получаем, что графики уравнений $|x| + |y| = a$ и $y = \sqrt{x + 9}$ касаются при $a = 9{,}25$. При найденном значении $x = \dfrac{2a - 1}{2} = 8{,}75$, эта точка действительно лежит на стороне квадрата. Следовательно, система уравнений имеет два решения при $3 < a < 9$ и $a = 9{,}25$.

Ответ: $(3; 9) \cup \{9{,}25\}$.

Рассмотрим первое уравнение системы. Заметим, что параметр $a$ неотрицателен, так как иначе сумма модулей была бы отрицательным числом, чего быть не может. При $a = 0$ получаем $x = y = 0$, что противоречит второму уравнению системы. При $a > 0$ уравнение $|x| + |y| = a$ задаёт на координатной плоскости квадрат с вершинами на координатных осях и диагоналями, равными $2a$. График второго уравнения получается из графика функции $y = \sqrt{x}$, сдвигом на четыре единицы влево вдоль оси абсцисс.

Из построенного рисунка видно, что при $a = 2$ система имеет ровно одно решение, а при $a = 4$ — три решения. Найдём, при каком значении параметра график корня касается стороны квадрата. Для этого определим, при каких $a$ уравнение $|x| + \sqrt{x + 4} = a$ имеет единственное решение. Имеем: $$|x| + \sqrt{x + 4} = a \Longleftrightarrow \begin{cases} x \ge 0,\\ \sqrt{x + 4} = a - x, \end{cases} \quad \begin{cases} x < 0,\\ \sqrt{x + 4} = a + x. \end{cases}$$

$$\begin{cases} x \ge 0,\\ a - x \ge 0,\\ x^2 - x(2a + 1) + a^2 - 4 = 0, \end{cases} \quad \begin{cases} x < 0,\\ a + x \ge 0,\\ x^2 + x(2a - 1) + a^2 - 4 = 0. \end{cases}$$

Уравнение $x^2 - x(2a + 1) + a^2 - 4 = 0$ имеет единственное решение в том случае, если дискриминант равен нулю. Решим уравнение $D = 0$: $$(2a + 1)^2 - 4(a^2 - 4) = 0 \Longleftrightarrow 4a + 17 = 0 \Longleftrightarrow a = -4{,}25.$$

Уравнение $x^2 + x(2a - 1) + a^2 - 4 = 0$ имеет единственное решение в том случае, если дискриминант равен нулю. Решим уравнение $D = 0$: $$(2a - 1)^2 - 4(a^2 - 4) = 0 \Longleftrightarrow 4a + 17 = 0 \Longleftrightarrow a = 4{,}25.$$

Учитывая, что $a > 0$, получаем, что графики уравнений $|x| + |y| = a$ и $y = \sqrt{x + 4}$ касаются при $a = 4{,}25$. При найденном значении абсциссой точки касания является $x = \dfrac{2a - 1}{2} = 3{,}75$, эта точка действительно лежит на стороне квадрата. Следовательно, система уравнений имеет два решения при $2 < a < 4$ и $a = 4{,}25$.

Ответ: $(2; 4) \cup \{4{,}25\}$.