Показательные уравнения

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$$3\cdot3^{2x + 2} - 30\cdot6^x + 8\cdot4^x = 0$$ Разделим все слагаемые на $4^x$ (так как $4^x > 0$):

$$3\cdot3^{2x + 2} \cdot4^{-x} - 30\cdot6^x \cdot4^{-x} + 8 = 0$$ $$3\cdot\left(\frac{9}{4}\right)^x \cdot9 - 30\cdot\left(\frac{6}{4}\right)^x + 8 = 0$$ $$27\cdot\left(\frac{9}{4}\right)^x - 30\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^x + 8 = 0$$

Сделаем замену $t = \left(\frac{3}{2}\right)^x > 0$:

$$27t^2 - 30t + 8 = 0$$ $$D = 900 - 864 = 36$$ $$t = \frac{30 \pm 6}{54}$$ $$\left[\begin{array}{l} t = \frac{36}{54} = \frac{2}{3}\\ \\ t = \frac{24}{54} = \frac{4}{9} \end{array}\right.$$

Обратная замена:

$$\left[\begin{array}{l} \left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{2}{3} \\ \\ \left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{4}{9} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left(\frac{3}{2}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^{-1} \\ \\ \left(\frac{3}{2}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^{-2} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = -1 \\ x = -2 \end{array}\right.$$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \pi\right]$:

$$-\frac{\pi}{2} \leq -1 \leq \pi \Leftrightarrow -\pi \leq -2 \leq 2\pi \text{ верно}$$ $$-\frac{\pi}{2} \leq -2 \leq \pi \Leftrightarrow -\pi \leq -4 \leq 2\pi \text{ неверно}$$

Нам подходит только $x = -1$, так как $-2$ не входит в отрезок.

Ответ: а) $-2; -1;$, б) $-1;$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$$5\cdot4^{x^2 + 4x} + 2\cdot10^{x^2 + 4x} -7\cdot25^{x^2 + 4x} = 0$$

Разделим все слагаемые на $4^{x^2 + 4x}$ (так как $4^{x^2 + 4x} > 0$):

$$5 + 2\cdot\left(\frac{10}{4}\right)^{x^2 + 4x} -7\cdot\left(\frac{25}{4}\right)^{x^2 + 4x} = 0$$

Сделаем замену $t = \left(\frac{5}{2}\right)^{x^2 + 4x} > 0$:

$$5 + 2\cdot\left(\frac{5}{2}\right)^{x^2 + 4x} -7\cdot\left(\frac{5}{2}\right)^{2(x^2 + 4x)} = 0$$ $$5 + 2t -7t^2 = 0 \Leftrightarrow7t^2 -2t -5 = 0$$ $$D = 4 + 140 = 144$$ $$t = \frac{2 \pm 12}{14}$$ $$\left[\begin{array}{l} t = \frac{14}{14} = 1 \\ \\ t = \frac{-10}{14} = -\frac{5}{7} \quad \text{(не подходит, так как \(t > 0\))} \end{array}\right.$$

Обратная замена:

$$\left(\frac{5}{2}\right)^{x^2 + 4x} = 1 \Leftrightarrow \left(\frac{5}{2}\right)^{x^2 + 4x} = \left(\frac{5}{2}\right)^0 \Leftrightarrow x^2 + 4x = 0$$ $$x(x + 4) = 0$$ $$\left[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = -4 \end{array}\right.$$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-3; 1\right]$:

Корень $x = -4$ не принадлежит отрезку. Корень $x = 0$ принадлежит отрезку.

Ответ: а) $-4; 0;$, б) $0;$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$$(2^3)^x - 7\cdot(2^2)^x - 2^{x+4} + 112 = 0$$ $$2^{3x} - 7\cdot2^{2x} - 16\cdot2^x + 112 = 0$$

Сделаем замену $t = 2^x > 0$:

$$t^3 -7t^2 -16t + 112 = 0 \Leftrightarrow t^2(t - 7) - 16(t - 7) = 0$$ $$(t^2 - 16)(t - 7) = 0 \Leftrightarrow (t - 4)(t + 4)(t - 7) = 0$$

$$\left[\begin{array}{l} t = 7 \\ t = -4 \quad \text{(не подходит, так как \(t > 0\))}\\ t = 4 \end{array}\right.$$

Обратная замена:

$$\left[\begin{array}{l} 2^x = 4 \\ 2^x = 7 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 2 \\ x = \log_27 \end{array}\right.$$

б) Отберём корни, принадлежащие промежутку $\left[\log_25; \log_211\right]$:

$$2 = \log_24 < \log_25 < \log_27 < \log_211$$

Ответ: а) $2; \log_27;$ б) $\log_27;$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$$(2^3)^x - 10\cdot2^x + \frac{16}{2^x} = 0$$ $$2^{3x} -10\cdot2^x + 16\cdot2^{-x} = 0$$

Умножим обе части на $2^x$ (так как $2^x > 0$):

$$2^{4x} -10\cdot2^{2x} + 16 = 0$$

Сделаем замену $t = 2^{2x} > 0$:

$$t^2 -10t + 16 = 0$$ $$D = 100 - 64 = 36$$ $$t = \frac{10 \pm 6}{2}$$ $$\left[\begin{array}{l} t = 8 \\ t = 2 \end{array}\right.$$

Обратная замена:

$$\left[\begin{array}{l} 2^{2x} = 8 \\ 2^{2x} = 2 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2^{2x} = 2^3 \\ 2^{2x} = 2^1 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \frac{3}{2} \\ \\ x = \frac{1}{2} \end{array}\right.$$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\log_52; \log_510\right]$:

$$\log_52 < \log_5\sqrt5 = \frac{1}{2} < \log_510 = \log_5{2\cdot5} = \log_52 + 1 \text{ верно}$$ $$\log_510 < \frac{3}{2} = \log_55^{3/2} = \log_55\sqrt5\Leftrightarrow 10 < 5\sqrt5 \text{ верно}$$

Ответ: а) $\frac{1}{2}; \frac{3}{2};$, б) $\frac{1}{2}$

a) Запишем исходное уравнение в виде:

$$\frac{6^{2x}}{6} + \frac{2 \cdot 5^{2x}}{5} - \frac{16 \cdot 30^x}{30} = 0;$$ $$5 \cdot 6^{2x} - 16 \cdot 30^x + 12 \cdot 5^{2x} = 0;$$

$$5 \cdot \left( \frac{6}{5} \right)^{2x} - 16 \cdot \left( \frac{6}{5} \right)^x + 12 = 0;$$ $$5t^2 - 16t + 12 = 0, \quad \text{где } t = \left( \frac{6}{5} \right)^x.$$

Решаем квадратное уравнение: $$D = 256 - 240 = 16, \quad \sqrt{D} = 4.$$ $$t = \frac{16 \pm 4}{10} = \begin{cases} t_1 = \tfrac{20}{10} = 2, \\ t_2 = \tfrac{12}{10} = 1,2. \end{cases}$$

Таким образом: $$\left( \frac{6}{5} \right)^x = 2 \quad \text{или} \quad \left( \frac{6}{5} \right)^x = 1,2 = \frac{6}{5}.$$

Отсюда: $$x = \log_{\frac{6}{5}} 2 \quad \text{или} \quad x = 1.$$

б) Для $x = 1$ условие $0,5 \leq x \leq 4$ выполнено.

Для $x = \log_{\frac{6}{5}} 2$ получаем: $$\log_{\frac{6}{5}} 2 > \log_{\frac{6}{5}} \frac{6}{5} = 1$$ и $4 = \log_{\frac{6}{5}} \left( \frac{6}{5} \right)^4 = \log_{\frac{6}{5}} \frac{1296}{625} = \log_{\frac{6}{5}} 2,0736 > \log_{\frac{6}{5}} 2$, откуда $\log_{\frac{6}{5}} 2 < 4$.

Значит, для $x = \log_{\frac{6}{5}} 2$ условие $0,5 \leq x \leq 4$ также выполнено.

Ответ:
a) $1; \ \log_{\frac{6}{5}} 2;$
б) $1; \ \log_{\frac{6}{5}} 2.$