Прочее

В первой дроби числитель — разность квадратов:

$$9m^2 - n^2 = (3m - n)(3m + n)$$

Тогда

$$\frac{9m^2 - n^2}{3m - n} = \frac{(3m - n)(3m + n)}{3m - n} = 3m + n$$

Во второй дроби числитель — сумма кубов:

$$27m^3 + n^3 = (3m)^3 + n^3$$

Применяем формулу:

$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$

Получаем:

$$27m^3 + n^3 = (3m + n)(9m^2 - 3mn + n^2)$$

Тогда

$$\frac{27m^3 + n^3}{9m^2 - 3mn + n^2} = \frac{(3m + n)(9m^2 - 3mn + n^2)}{9m^2 - 3mn + n^2} = 3m + n$$

Теперь всё выражение:

$$(3m + n) - (3m + n) = 0$$

Ответ:

$$0$$

Раскрываем куб суммы:

$$(p + 2q)^3 = p^3 + 3p^2 \cdot 2q + 3p \cdot (2q)^2 + (2q)^3$$

$$(p + 2q)^3 = p^3 + 6p^2q + 12pq^2 + 8q^3$$

Раскрываем куб разности:

$$(p - 2q)^3 = p^3 - 6p^2q + 12pq^2 - 8q^3$$

Теперь вычитаем:

$$(p + 2q)^3 - (p - 2q)^3$$

$$= (p^3 + 6p^2q + 12pq^2 + 8q^3) - (p^3 - 6p^2q + 12pq^2 - 8q^3)$$

$$= 12p^2q + 16q^3$$

Тогда всё выражение равно:

$$12p^2q + 16q^3 - 4q(3p^2 + 4q^2)$$

Раскрываем последние скобки:

$$4q(3p^2 + 4q^2) = 12p^2q + 16q^3$$

Получаем:

$$12p^2q + 16q^3 - (12p^2q + 16q^3) = 0$$

Ответ:

$$0$$

3478 — чётное число, значит, на 2 делится.

Сумма цифр:

$$3 + 4 + 7 + 8 = 22.$$

Число 22 на 3 не делится, значит, 3478 на 3 не делится.

Тогда и на 6 число не делится, так как для делимости на 6 нужна делимость и на 2, и на 3.

Найдём остаток:

$$3478 = 6 \times 579 + 4.$$

Ответ: остаток 4; на 2 делится, на 3 не делится, на 6 не делится.

При делении на 3 любое число даёт один из остатков: 0, 1 или 2.

Если взять три последовательных числа, их остатки при делении на 3 будут идти подряд: 0, 1, 2 или 1, 2, 0 или 2, 0, 1.

Среди них обязательно есть остаток 0.

Значит, одно из этих чисел делится на 3.

Требуется, чтобы число $5n + 3$ делилось на 8.

Это значит, что при делении на 8 число $5n + 3$ должно давать остаток 0.

Тогда число $5n$ должно давать тот же остаток, что и $-3$, то есть тот же остаток, что и 5.

Получаем: при делении на 8 число $n$ должно давать остаток 1.

Значит,

$$n = 1, 9, 17, 25, ..., 97.$$

Наибольшее такое число меньше 100 — это 97.

Проверка:

$$5 \times 97 + 3 = 485 + 3 = 488,$$

$$488 : 8 = 61.$$

Ответ: 97.