Прочее

Представим как разность кубов:

$$8p^3q^6 = (2pq^2)^3$$

$$27r^9 = (3r^3)^3$$

Применяем формулу:

$$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$

Получаем:

$$8p^3q^6 - 27r^9 = (2pq^2 - 3r^3)\left((2pq^2)^2 + (2pq^2)(3r^3) + (3r^3)^2\right)$$

$$= (2pq^2 - 3r^3)(4p^2q^4 + 6pq^2r^3 + 9r^6)$$

Ответ:

$$(2pq^2 - 3r^3)(4p^2q^4 + 6pq^2r^3 + 9r^6)$$

Это сумма кубов:

$$64m^6 = (4m^2)^3$$

$$125n^3 = (5n)^3$$

Применяем формулу:

$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$

Получаем:

$$64m^6 + 125n^3 = (4m^2 + 5n)\left((4m^2)^2 - (4m^2)(5n) + (5n)^2\right)$$

$$= (4m^2 + 5n)(16m^4 - 20m^2n + 25n^2)$$

Ответ:

$$(4m^2 + 5n)(16m^4 - 20m^2n + 25n^2)$$

В числителе замечаем разность квадратов:

$$a^2 + 2ab + b^2 - c^2 = (a + b)^2 - c^2$$

Применяем формулу:

$$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$$

Тогда

$$(a + b)^2 - c^2 = (a + b - c)(a + b + c)$$

Подставляем:

$$\frac{(a + b - c)(a + b + c)}{a + b - c}$$

Сокращаем:

$$a + b + c$$

Ответ:

$$a + b + c$$

Раскрываем квадрат разности:

$$(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$$

Раскрываем скобки во втором произведении:

$$(x + 1)(3x - 7) = 3x^2 - 7x + 3x - 7 = 3x^2 - 4x - 7$$

Теперь вычитаем:

$$4x^2 - 12x + 9 - (3x^2 - 4x - 7)$$

$$4x^2 - 12x + 9 - 3x^2 + 4x + 7$$

$$x^2 - 8x + 16$$

Снова видим ФСУ:

$$x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$$ Ответ:

$$(x - 4)^2$$

Разложим числитель первой дроби:

$$x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$$

Дальше:

$$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$

Значит,

$$x^4 - 16 = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$$

Знаменатель первой дроби:

$$x^2 - 2x = x(x - 2)$$

Подставляем:

$$\frac{(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)}{x(x - 2)} \cdot \frac{x}{x^2 + 4}$$

Сокращаем $(x - 2)$, $x$, $(x^2 + 4)$:

$$x + 2$$

Ответ:

$$x + 2$$