Прочее

1. Найдём коэффициент $k$: Из условия известно, что $f(4) = 5$. Подставим в уравнение функции: $$k \cdot \sqrt{4} = 5$$ $$k \cdot 2 = 5$$ $$k = \frac{5}{2} = 2,\!5$$

2. Запишем уравнение функции: $$f(x) = 2,\!5 \cdot \sqrt{x}$$

3. Вычислим $f(6,\!76)$: $$f(6,\!76) = 2,\!5 \cdot \sqrt{6,\!76}$$ $$\sqrt{6,\!76} = 2,\!6 \quad \text{(так как \( 2,\!6^2 = 6,\!76 \))}$$ $$f(6,\!76) = 2,\!5 \cdot 2,\!6 = 6,\!5$$

Ответ 6,5

Определим параметры функции: Из условия известны две точки: $$\begin{align*} f(2) &= -2 \\ f(4) &= -1 \end{align*}$$

Составим систему уравнений: $$\begin{cases} b + \log_a 2 = -2 \\ b + \log_a 4 = -1 \end{cases}$$

Решим систему: Вычтем первое уравнение из второго: $$\log_a 4 - \log_a 2 = 1 \Rightarrow \log_a \left(\frac{4}{2}\right) = 1 \Rightarrow \log_a 2 = 1 \Rightarrow a = 2$$

Подставим $a = 2$ в первое уравнение: $$b + \log_2 2 = -2 \Rightarrow b + 1 = -2 \Rightarrow b = -3$$

Запишем уравнение функции: $$f(x) = -3 + \log_2 x$$

Найдём $x$ при $f(x) = 1$: $$1 = -3 + \log_2 x \Rightarrow \log_2 x = 4 \Rightarrow x = 2^4 = 16$$

Ответ 16

$$(*) \begin{cases} 3a - x > 0 \\ 2x + 2a - 5 > 0 \\ x - a > 0 \\ 0 \leq x \leq 2 \end{cases}$$

Преобразуем уравнение: $$\ln(3a - x)\left(\ln(2x + 2a - 5) - \ln(x - a)\right) = 0$$

Это равносильно совокупности: $$\left[ \begin{aligned} &\ln(3a - x) = 0 \\ &\ln(2x + 2a - 5) = \ln(x - a) \end{aligned} \right.$$

1. Первое уравнение: $$\ln(3a - x) = 0 \Rightarrow 3a - x = 1 \Rightarrow x = 3a - 1$$

Проверим условия для $x = 3a - 1$: $$\begin{cases} 3a - (3a - 1) > 0 \\ 2(3a - 1) + 2a - 5 > 0 \\ (3a - 1) - a > 0 \\ 0 \leq 3a - 1 \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 1 > 0 \\ 8a - 7 > 0 \\ 2a - 1 > 0 \\ \frac{1}{3} \leq a \leq 1 \end{cases} \Rightarrow a \in \left(\frac{7}{8}; 1\right]$$

1. Второе уравнение: $$\ln(2x + 2a - 5) = \ln(x - a) \Rightarrow 2x + 2a - 5 = x - a \Rightarrow x = 5 - 3a$$

Проверим условия для $x = 5 - 3a$: $$\begin{cases} 3a - (5 - 3a) > 0 \\ 2(5 - 3a) + 2a - 5 > 0 \\ 0 \leq 5 - 3a \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 6a - 5 > 0 \\ -4a + 5 > 0 \\ 1 \leq a \leq \frac{5}{3} \end{cases} \Rightarrow a \in \left[1; \frac{5}{4}\right)$$

Проверим совпадение корней: $$3a - 1 = 5 - 3a \Rightarrow a = 1$$

Таким образом, уравнение имеет ровно один корень на отрезке $[0; 2]$ при: $$a \in \left(\frac{7}{8}; \frac{5}{4}\right)$$

Ответ: $\left(\frac{7}{8}; \frac{5}{4}\right)$

$$(*) \begin{cases} x^2 - 8x + 17 - a^2 > 0 \\ 7x - 4 \geq 0 \\ 0 \leq x \leq 4 \end{cases}$$

Уравнение можно переписать в виде: $$\sqrt{7x - 4}\cdot\ln(x^2 - 8x + 17 - a^2) = 0$$

Это равносильно совокупности: $$\left[ \begin{aligned} &\sqrt{7x - 4} = 0 \\ &\ln(x^2 - 8x + 17 - a^2) = 0 \end{aligned} \right.$$

Первое уравнение: $$\sqrt{7x - 4} = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{7} \in [0; 4]$$

Проверим, при каких значениях параметра $a$, $x = \frac{4}{7}$ является корнем, для этого подставим его в $(*)$: $$\left(\frac{4}{7}\right)^2 - 8\cdot\frac{4}{7} + 17 - a^2 > 0 \Leftrightarrow \frac{16}{49} - \frac{32}{7} + 17 - a^2 > 0 \Leftrightarrow \frac{625}{49} > a^2 \Rightarrow a \in \left(-\frac{25}{7}; \frac{25}{7}\right)$$

Второе уравнение: $$\ln(x^2 - 8x + 17 - a^2) = 0 \Rightarrow x^2 - 8x + 17 - a^2 = 1 \Rightarrow (x-4)^2 = a^2$$ $$\Rightarrow x = 4 \pm a$$

Проверим условия для каждого корня:

1. Для $x = 4 - a$: $$\begin{cases} 4 - a \geq \frac{4}{7} \\ 0 \leq 4 - a \leq 4 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \leq \frac{24}{7} \\ 0 \leq a \leq 4 \\ \end{cases} \Rightarrow a \in \left[0; \frac{24}{7}\right]$$

2. Для $x = 4 + a$: $$\begin{cases} 4 + a \geq \frac{4}{7} \\ 0 \leq 4 + a \leq 4 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \geq -\frac{24}{7} \\ -4 \leq a \leq 0 \\ \end{cases} \Rightarrow a \in \left[-\frac{24}{7}; 0\right]$$

Проверим совпадение корней: $$4 - a = 4 + a \Rightarrow a = 0$$ $$4 - a = \frac{4}{7} \Rightarrow a = \frac{24}{7}$$ $$4 + a = \frac{4}{7} \Rightarrow a = -\frac{24}{7}$$

Таким образом, уравнение имеет ровно один корень на отрезке $[0; 4]$ при: $$a \in \left(-\frac{25}{7}; -\frac{24}{7}\right] \cup \left[\frac{24}{7}; \frac{25}{7}\right)$$

Ответ: $\left(-\frac{25}{7}; -\frac{24}{7}\right] \cup \left[\frac{24}{7}; \frac{25}{7}\right)$

Производная в точке касания равна тангенсу угла наклона касательной к оси $X$, т.е её угловому коэффициенту.

Пусть $A(-6; -2), \quad B(2; 4), \quad C(2; 2)$

Найдём $\tg \angle BAC$:

$$\tg \angle BAC = \frac{BC}{AC} = \frac{2}{8} = 0,25$$