Прочее

1. Определим уравнение функции $g(x)$:

Из графика известны три точки: $$\begin{align*} g(-3) &= 2 \\ g(-1) &= -2 \\ g(2) &= 7 \end{align*}$$

Составим систему уравнений: $$\begin{cases} a(-3)^2 + b(-3) + c = 2 \\ a(-1)^2 + b(-1) + c = -2 \\ a(2)^2 + b(2) + c = 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 9a - 3b + c = 2 \\ a - b + c = -2 \\ 4a + 2b + c = 7 \end{cases}$$

Решим систему:

1. Вычтем второе уравнение из первого: $$8a - 2b = 4 \quad (1)$$
2. Вычтем второе уравнение из третьего: $$3a + 3b = 9 \quad (2)$$
3. Упростим уравнения: $$\begin{cases} 4a - b = 2 \\ a + b = 3 \end{cases}$$
4. Сложим уравнения: $$5a = 5 \Rightarrow a = 1$$
5. Подставим $a = 1$ во второе уравнение: $$1 + b = 3 \Rightarrow b = 2$$
6. Найдём $c$ из второго исходного уравнения: $$1 - 2 + c = -2 \Rightarrow c = -1$$

Таким образом: $$g(x) = x^2 + 2x - 1$$

1. Найдем точки пересечения: Решим уравнение: $$4x^2 - 25x + 41 = x^2 + 2x - 1$$ $$3x^2 - 27x + 42 = 0$$ $$x^2 - 9x + 14 = 0$$ $$D = 81 - 56 = 25$$ $$x = \frac{9 \pm 5}{2} \Rightarrow \begin{cases} x_1 = 2 \quad \text{(точка A)} \\ x_2 = 7 \quad \text{(точка B)} \end{cases}$$

Ответ 7

Подберём первый корень уравнения: $$x = \pm1, \quad x = \pm 2, \quad x = \pm3 ...$$

Подставим $x = 1$: $$(1)^3 +6\cdot1^2 -1 - 6 = 0$$

Мы подобрали корень $x = 1$. Теперь разделим многочлен на множитель $(x - 1)$:

В итоге получаем: $$(x - 1)(x^2 + 7x +6) = 0$$ $$x - 1 = 0 \text{ или } x^2 + 7x +6 = 0$$

Разложим вторую скобку на множители: $$D = 49 - 4\cdot1\cdot6 = 49 - 24 = 25 = 5^2$$ $$x = \frac{-7 \pm 5}{2} \Rightarrow x = -1, \quad x = -6$$

Ответ: $\{-6; -1; 1\}$

Подберём первый корень уравнения: $$x = \pm1, \quad x = \pm 3$$

Подставим $x = 1$: $$2\cdot(1)^3 + 1^2 -3 = 0$$

Мы подобрали корень $x = 1$. Теперь разделим многочлен на множитель $(x - 1)$:

В итоге получаем: $$(x - 1)(2x^2 + 3x + 3) = 0$$ $$x - 1 = 0 \text{ или } 2x^2 + 3x + 3 = 0$$

Разложим вторую скобку на множители: $$D = 9 - 4\cdot2\cdot3 = -15 < 0$$ Выходит, что единственный корень уравнения это $x = 1$

Ответ: $1$;

Подберём первый корень уравнения: $$x = \pm1, \quad x = \pm 2, \quad x = \pm4$$

Подставим $x = 1$: $$(1)^3 +6\cdot1^2 -1 - 6 = 0$$

Мы подобрали корень $x = 1$. Теперь разделим многочлен на множитель $(x - 1)$:

В итоге получаем: $$(x - 1)(x^3 -x^2 - 8x -4) = 0$$ $$x - 1 = 0 \text{ или } x^3 - x^2 - 8x - 4 = 0$$

Теперь попробуем подобрать корень второй скобки: $$x = \pm1, \quad x = \pm2, \quad x = \pm 4$$

Подставим $x = 1$: $$1^3 - (1)^2 - 8\cdot1 - 4 = 1 - 13 = -12 \neq 0$$

Подставим $x = -1$: $$(-1)^3 - (-1)^2 -8\cdot(-1) - 4 = -6 + 8 = -2 \neq 0$$

Подставим $x = 2$: $$2^3 - (2)^2 - 8 \cdot(2) - 4 = 8 - 4 - 16 - 4 = -16 \neq 0$$

Подставим $x = -2$: $$(-2)^3 -(-2)^2 - 8\cdot(-2) - 4 = -8 - 4 + 16 - 4 = 0$$

Мы подобрали корень $x = -2$. Теперь поделим многочлен второй скобки на $(x + 2)$:

В итоге получаем: $$(x - 1)(x + 2)(x^2 - 3x - 2) = 0$$

Попробуем разложить $x^2 - 3x - 2$ на множители: $$D = 9 - 4\cdot1\cdot(-2) = 17$$ $$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$$

Ответ: $\{-2; \tfrac{3 - \sqrt{17}}{2}; 1; \tfrac{3 + \sqrt{17}}{2}\}$

Возможные корни: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$

Проверим $x = 1$:

Остаток равен $0$, значит $x = 1$ — корень

В итоге получаем: $(x - 1)(x^2 - 5x + 6) = 0$ $$x - 1 = 0 \text{ или } x^2 - 5x + 6 = 0$$

Решаем квадратное уравнение: $$x^2 - 5x + 6 = 0$$ $$D = 25 - 24 = 1$$ $$x = \frac{5 \pm 1}{2} \Rightarrow x = 3, \quad x = 2$$

Ответ: $\{1; 2; 3\}$