Прочее

Из графика находим две известные точки: $$f(2) = 1 \quad \text{и} \quad f(1) = -1$$ Подставляем эти значения в уравнение функции: $$\begin{cases} a^2 + b = 1, \\ a^1 + b = -1 \end{cases}$$ Вычитаем второе уравнение из первого: $$a^2 - a = 2 \Rightarrow a^2 - a - 2 = 0$$ Решаем квадратное уравнение: $$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Получаем два решения: $$a = 2 \quad \text{или} \quad a = -1$$ Так как показательная функция определена при $a > 0$, выбираем $a = 2$.

Подставляем $a = 2$ во второе уравнение системы: $$2 + b = -1 \Rightarrow b = -3$$ Таким образом, функция имеет вид: $$f(x) = 2^x - 3$$ Находим $f(6)$: $$f(6) = 2^6 - 3 = 64 - 3 = 61$$

Найдем производную заданной функции:

$$y'=\frac{6}{x-7}-6.$$

Найдем нули производной:

$$\frac{6}{x-7}-6=0 \Leftrightarrow \frac{6}{x-7}=6 \Leftrightarrow x-7=1 \Leftrightarrow x=8.$$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума $x = 8$.

По формулам приведения имеем:

$$\cos^2(\pi-x)-\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=0$$

$$\cos^2x+\cos x=0$$

$$\begin{cases} \cos x=0\\ \cos x=-1 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z\\ x=\pi+2\pi m,\; m\in\mathbb Z \end{cases}$$

б) Отберем корни на отрезке

$$\left[-\frac{5\pi}{3};-\frac{\pi}{2}\right]$$ с помощью неравенства.

Для первой серии решений:

$$-\frac{5\pi}{3}\le \frac{\pi}{2}+\pi n\le -\frac{\pi}{2}$$

$$-\frac{13}{6}\le n\le -1$$

$$n=-2;\,-1 \;\Rightarrow\; x=-\frac{3\pi}{2};\,-\frac{\pi}{2}$$

Для второй серии решений:

$$-\frac{5\pi}{3}\le \pi+2\pi m\le -\frac{\pi}{2}$$

$$-\frac{4}{3}\le m\le -\frac{3}{4}$$

$$m=-1 \;\Rightarrow\; x=-\pi$$

Следовательно, на отрезке

$$\left[-\frac{5\pi}{3};-\frac{\pi}{2}\right]$$ лежат корни

$$-\frac{3\pi}{2};\;-\pi;\;-\frac{\pi}{2}.$$

Ответ:

а)

$$\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z;\quad \pi+2\pi m,\; m\in\mathbb Z$$

б)

$$-\frac{3\pi}{2};\;-\pi;\;-\frac{\pi}{2}$$

Пусть $t=2^x$. Тогда неравенство примет вид:

$$\frac{t+8}{t-8}+\frac{t-8}{t+8}\geq \frac{16t+96}{(t-8)(t+8)}$$

$$\frac{(t+8)^2+(t-8)^2-(16t+96)}{(t-8)(t+8)}\geq 0$$

$$\frac{(t^2+16t+64)+(t^2-16t+64)-16t-96}{(t-8)(t+8)}\geq 0$$

$$\frac{2t^2-16t+32}{(t-8)(t+8)}\geq 0$$

$$\frac{2(t-4)^2}{(t-8)(t+8)}\geq 0$$

Заметим, что $t=2^x>0$, поэтому домножим обе части неравенства на заведомо положительное выражение $t+8$ и поделим на $2$, получим

$$\frac{(t-4)^2}{t-8}\geq 0.$$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Тогда решением неравенства будет совокупность:

$$\left[ \begin{array}{l} t=4\\ t>8 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2^x=2^2\\ 2^x>2^3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=2\\ x>3 \end{array} \right.$$

Получим $x\in\{2\}\cup(3;+\infty)$.

Ответ:

$$\{2\}\cup(3;+\infty)$$

Составим таблицу, обозначив за $S$ руб. сумму кредита, за $x$ руб. — ежегодный платёж, а за $k=1+\dfrac{25}{100}=\dfrac54$ — во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \begin{array}{c} \text{Долг в руб. до}\\ \text{начисления \%} \end{array} & \begin{array}{c} \text{Долг в руб. после}\\ \text{начисления \%} \end{array} & \text{Платёж в руб.} \\ \hline 1 & S & kS & x \\ \hline 2 & kS-x & k^2S-kx & x \\ \hline 3 & k^2S-kx-x & k^3S-k^2x-kx & x \\ \hline \end{array}$$

Так как в конце третьего года кредит будет погашен, то

$$k^3S-k^2x-kx=x$$

$$x\left(k^2+k+1\right)=k^3S$$

$$x\frac{k^3-1}{k-1}=k^3S$$

$$x=Sk^3\frac{k-1}{k^3-1}$$

$$3x=3Sk^3\frac{k-1}{k^3-1}$$

Мы знаем, что $k=\dfrac54$. Преобразуем правую часть:

$$3Sk^3\frac{k-1}{k^3-1} = 3S\cdot\frac{5^3}{4^3}\cdot \frac{\frac14}{\left(\frac54\right)^3-1} = 3S\cdot\frac{5^3}{4^3}\cdot\frac{4^2}{5^3-4^3} = \frac{375}{244}S$$

Заметим, что за три года банку заплатили $3x$ рублей, тогда $3x=S+65500$. Подставим это в выражение для $3x$:

$$S+65500=\frac{375}{244}S$$

$$65500=\frac{131}{244}S$$

$$S=\frac{65500\cdot244}{131}$$

$$S=122000$$

Ответ: $122000$