Произведение и экспонента

1. Найдем производную функции: $$y' = \left((x+6)^2 e^{4-x}\right)' = 2(x+6)e^{4-x} - (x+6)^2 e^{4-x} =$$

$$= e^{4-x}(x+6)(-x -6 + 2) = e^{4 - x}(x + 6)(-x - 4)$$

1. Найдем нули производной: $$e^{4-x}(x+6)(-x - 4) = 0 \Rightarrow x = -6 \text{ или } x = -4$$ (так как $e^{4-x} > 0$ для всех $x$)

2. Анализ производной:

Функция имеет максимум в точке $x = -4$.

1. Найдем производную функции: $$y' = \left((x+3)^2 e^{2-x}\right)' = 2(x+3)e^{2-x} - (x+3)^2 e^{2-x} = e^{2-x}(x+3)(-x - 1)$$

2. Найдем нули производной: $$e^{2-x}(x+3)(-x - 1) = 0 \Rightarrow x = -3 \text{ или } x = -1$$ (так как $e^{2-x} > 0$ для всех $x$)

3. Анализ производной:

Функция имеет минимум в точке $x = -3$.

1. Найдем производную функции: $$y' = \left((x^2-8x+8)e^{6-x}\right)' = (2x-8)e^{6-x} - (x^2-8x+8)e^{6-x} =$$ $$= e^{6-x}(-x^2+8x - 8 + 2x - 8) = e^{6-x}(-x^2+10x - 16)$$

2. Найдем нули производной: $$e^{6-x}(-x^2+10x-16) = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ или } x = 8$$ (так как $e^{6-x} > 0$ для всех $x$)

3. Анализ производной:

Функция имеет минимум в точке $x = 2$.

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((8-x)e^{9-x}\right)' = -e^{9-x} - (8-x)e^{9-x} =$$

$$-e^{9 - x}(1 + 8 - x)=e^{9-x}(x-9)$$

1. Найдём нули производной: $$e^{9-x}(x-9) = 0 \Rightarrow x = 9$$ (так как $e^{9-x} > 0$ для всех $x$)

2. Анализ поведения функции:

Функция убывает на $[3,9]$ и возрастает на $[9,10]$, поэтому наименьшее значение в точке $x=9$: $$y(9) = (8-9)e^{0} = -1$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((8-x)e^{x-7}\right)' = -e^{x-7} + (8-x)e^{x-7} =e^{x - 7}(8 - x - 1) = e^{x-7}(7 - x)$$

2. Найдём нули производной: $$e^{x-7}(7 - x) = 0 \Rightarrow x = 7$$ (так как $e^{x-7} > 0$ для всех $x$)

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $[3,7]$ и убывает на $[7,10]$, поэтому наибольшее значение в точке $x=7$: $$y(7) = (8-7)e^{0} = 1$$