Произведение и экспонента

Найдём нули производной: $$y' = (4x - 26)e^{17 - x} - (2x^2 -26x + 26)e^{17 - x} = 0 \Leftrightarrow 4x - 26 -2x^2 + 26x -26 = 0 \Leftrightarrow 2x^2 -30x + 52 = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow x^2 - 15x + 26 \Leftrightarrow (x -13)(x - 2) = 0$$

Производная функции меняет свой знак с плюса на минус проходя через точку $x = 13$, значит $x = 13$ – точка максимума функции.

Найдём производную заданной функции:

$$y'=(x^2+18x-18)'e^x+(x^2+18x-18)(e^x)'= (x^2+18x-18)e^x+(2x+18)e^x= (x^2+20x)e^x.$$

Найдём нули производной на заданном отрезке: $$\begin{cases} (x^2+20x)e^x=0, \end{cases} \ \Leftrightarrow\ \begin{cases} x(x+20)=0, \end{cases} \ \Leftrightarrow\ \begin{cases} x=0,\\ x=-20, \end{cases} \ \Leftrightarrow\ x=0.$$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке $x=0$ заданная функция имеет минимум, являющийся её наименьшим значением на заданном отрезке. Найдём это наименьшее значение:

$$y(0)=(-18)\cdot e^0=-18.$$

Найдем производную заданной функции:

$$y'=(x^2-15x+15)'e^{x+3}+(x^2-15x+15)(e^{x+3})'= (2x-15)e^{x+3}+(x^2-15x+15)e^{x+3}=(x^2-13x)e^{x+3}=x(x-13)e^{x+3}.$$

Найдем нули производной:

$$x(x-13)e^{x+3}=0 \Leftrightarrow \begin{cases} x_1=0,\\ x_2=13. \end{cases}$$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума $x=0$.