Произвольные фигуры

Площадь ромбического основания: $$S = a^2 \sin \alpha = 1^2 \cdot \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Высота параллелепипеда (перпендикуляр к основанию): $$H = L \cdot \sin 60° = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$

Объем параллелепипеда: $$V = S \cdot H = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{2} = 1.5$$

Найдём радиус основания цилиндра: $$r = \frac{D}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Формула площади боковой поверхности цилиндра: $$S_{\text{бок}} = 2\pi r h$$

Выразим высоту из формулы: $$h = \frac{S_{\text{бок}}}{2\pi r}$$

Подставим известные значения: $$h = \frac{12\pi}{2\pi \cdot 3} = \frac{12\pi}{6\pi} = 2$$

Объём цилиндра: $$V_{\text{цил}} = S_{\text{осн}}h = 150$$

Объём конуса составляет треть от объёма цилиндра: $$V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}V_{\text{цил}} = \frac{150}{3} = 50$$

Для вписанного конуса: $$V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}S_{\text{осн}}h = 5$$

Тогда объём цилиндра: $$V_{\text{цил}} = S_{\text{осн}}h = 3 \times V_{\text{кон}} = 15$$

Условие задачи даёт: $$V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi R^2 h = 6$$ и так как радиус основания конуса равен радиусу шара, то $h = R$.

Подставляем $h = R$: $$\frac{1}{3}\pi R^3 = 6 \Rightarrow \pi R^3 = 18$$

Объём шара: $$V_{\text{шар}} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3} \times 18 = 24$$