Работа

Пусть $x$ — пропускная способность первой трубы (л/мин). Тогда вторая труба пропускает $x + 1$ л/мин. Составим таблицу согласно условию задачи:

Разница во времени составляет 2 минуты: $$\frac{110}{x} - \frac{99}{x + 1} = 2$$ $$110(x + 1) - 99x = 2x(x + 1)$$ $$110x + 110 - 99x = 2x^2 + 2x$$ $$11x + 110 = 2x^2 + 2x \Rightarrow 2x^2 - 9x - 110 = 0$$ $$D = 81 + 880 = 961$$ $$x = \frac{9 \pm 31}{4} \Rightarrow x = 10, \quad x = -5.5$$

Так как пропускная способность положительна: $x = 10$.

Пусть $x$ — пропускная способность второй трубы (л/мин). Тогда первая труба пропускает $x - 5$ л/мин. Составим таблицу согласно условию задачи:

Разница во времени составляет 10 минут: $$\frac{500}{x - 5} - \frac{375}{x} = 10$$ $$500x - 375(x - 5) = 10x(x - 5)$$ $$500x - 375x + 1875 = 10x^2 - 50x$$ $$125x + 1875 = 10x^2 - 50x \Rightarrow 10x^2 - 175x - 1875 = 0$$ $$2x^2 - 35x - 375 = 0$$ $$D = 1225 + 3000 = 4225$$ $$x = \frac{35 \pm 65}{4} \Rightarrow x = 25, \quad x = -7.5$$

Так как пропускная способность положительна: $x = 25$.

Пусть бригада работала $n$ дней, а в первый день покрасила $k_1$ метров забора. Во второй день $k_2$ метров забора, где $k_1 < k_2$ и так далее. Тогда в последний день было покрашено $k_n$ метров. По условию: $$k_1 + k_n = 60$$

Общее количество покрашенного забора: $$S_n = \frac{k_1 + k_n}{2}\cdot n = 240 \Leftrightarrow n = \frac{480}{k_1 + k_n} \Leftrightarrow n = 8$$

Пусть в первый день рабочие проложили $a_1 = 3$ метра, а в последний день — $a_{10}$ метров. Длина проложенного тоннеля:

$$S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = 500$$

Подставим известные значения:

$$\frac{3 + a_{10}}{2} \cdot 10 = 500 \Leftrightarrow 3 + a_{10} = 100 \Leftrightarrow a_{10} = 97$$

Пусть в первый день Вася решил $a_1 = 5$ задач, а в последний день — $a_{14}$ задач. Тогда общее количество задач за $14$ дней равно сумме арифметической прогрессии:

$$S_{14} = \frac{a_1 + a_{14}}{2} \cdot 14 = 434$$ Подставим известные значения: $$\frac{5 + a_{14}}{2} \cdot 14 = 434 \Leftrightarrow 5 + a_{14} = 62 \Leftrightarrow a_{14} = 57$$