Работа

Пусть в первый день грузовик перевез $a_1 = 2$ тонны, а ежедневное увеличение нормы перевозки равно $d$ тонн. Тогда количество щебня за девятый день:

$$a_9 = a_1 + 8d$$

Общее количество щебня за $14$ дней равно сумме арифметической прогрессии:

$$S_{14} = \frac{a_1 + a_{14}}{2} \cdot 14 = 210 \Leftrightarrow a_1 + a_{14} = 30$$

Так как $a_{14} = a_1 + 13d$, то:

$$2 + 2 + 13d = 30 \Leftrightarrow 13d = 26 \Leftrightarrow d = 2$$

Теперь найдём количество щебня за девятый день:

$$a_9 = 2 + 8 \cdot 2 = 18$$

Пусть в первый день Вера подписала $a_1 = 10$ открыток, а ежедневное увеличение количества подписанных открыток равно $d$. Тогда количество открыток за четвертый день:

$$a_4 = a_1 + 3d$$ Общее количество открыток за $16$ дней равно сумме арифметической прогрессии: $$S_{16} = \frac{a_1 + a_{16}}{2} \cdot 16 = 640 \Leftrightarrow a_1 + a_{16} = 80$$ Так как $a_{16} = a_1 + 15d$, то: $$10 + 10 + 15d = 80 \Leftrightarrow 15d = 60 \Leftrightarrow d = 4$$ Теперь найдём количество открыток за четвертый день: $$a_4 = 10 + 3 \cdot 4 = 22$$

Пусть $N$ — количество вопросов в тесте. Время выполнения теста:

• Для Пети: $\frac{N}{8}$ часов.
• Для Вани: $\frac{N}{9}$ часов.

Составим уравнение согласно условию задачи: $$\frac{N}{8} - \frac{N}{9} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \text{ часа.}$$

Решаем уравнение: $$\frac{9N - 8N}{72} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{N}{72} = \frac{1}{3} \Rightarrow N = 24.$$

Пусть $x$ — планируемая норма укладки (м$^2$/день). Тогда:

• Планируемое время: $\frac{175}{x}$ дней.
• Ускоренный режим: $\frac{175}{x + 10}$ дней.

Разница во времени: $$\frac{175}{x} - \frac{175}{x + 10} = 2.$$

Решаем уравнение: $$175(x + 10) - 175x = 2x(x + 10).$$ $$1750 = 2x^2 + 20x \Rightarrow x^2 + 10x - 875 = 0.$$

Решая квадратное уравнение, получаем корни: $$x = 25, \quad x = -35.$$

По условию задачи нам подходит только $x = 25$.

Пусть $d$ — общее время выполнения заказов (дни). Производительность одного рабочего: $k$ (заказов/день).

Работа первой бригады: $$16k \cdot 7 + 24k \cdot (d - 7).$$

Работа второй бригады: $$25k \cdot 7 + 17k \cdot (d - 7).$$

Так заказы были выполнены одновременно: $$112k + 24k(d - 7) = 175k + 17k(d - 7).$$

Сокращаем $k$ и решаем: $$112 + 24d - 168 = 175 + 17d - 119.$$ $$24d - 56 = 17d + 56 \Rightarrow 7d = 112 \Rightarrow d = 16.$$