Тригонометрические уравнения группировкой

$$\sin x (\cos 2x + 1) = \sqrt{3} \cos^2 x$$ $$\sin x (2\cos^2 x - 1 + 1) = \sqrt{3} \cos^2 x$$ $$2\sin x \cos^2 x = \sqrt{3} \cos^2 x$$ $$\cos^2 x (2\sin x - \sqrt{3}) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\cos x = 0 \\ &\sin x = \dfrac{\sqrt3}{2} \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k \\ &x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \\ &x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ \frac{7\pi}{2}; \frac{9\pi}{2} \right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{7\pi}{2}; \frac{13\pi}{3}; \frac{9\pi}{2}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{7\pi}{2}; \frac{13\pi}{3}; \frac{9\pi}{2}$

$$2\sin x \cos x - 2\sin x + 2\cos x - 2 = 0$$ $$2\sin x (\cos x - 1) + 2(\cos x - 1) = 0$$ $$2(\cos x - 1)(\sin x + 1) = 0 \Leftrightarrow (\cos x - 1)(\sin x + 1) \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\sin x = -1 \\ &\cos x = 1 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k\\ & x = 2\pi k \end{aligned} \right., k\in Z$$

Ответ: $x = 2\pi k; \ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Используем формулу приведения: $$\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$$ Подставляем в уравнение: $$\sin 2x + \sqrt{2}\sin x = 2\cos x + \sqrt{2}$$ $$2\sin x \cos x + \sqrt{2}\sin x - 2\cos x - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow 2\cos x(\sin x - 1) + \sqrt2(\sin x - 1) = 0$$ $$(\sin x - 1)(2\cos x + \sqrt{2}) = 0$$ $$\sin x = 1 \quad \text{или} \quad \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $[\pi; \frac{5\pi}{2}]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{5\pi}{4}, \frac{5\pi}{2}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{5\pi}{4}, \frac{5\pi}{2}$

Используем формулу приведения: $$\sin\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) = -\cos x$$ Подставляем в уравнение: $$\frac{\sin 2x}{-\cos x} = \sqrt{2}$$ $$\frac{2\sin x \cos x}{-\cos x} = \sqrt{2}$$ $$\left(*\right) \cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z;$$ $$-2\sin x = \sqrt{2}$$ $$\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{13\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{13\pi}{4}$$

Ответ: а) $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{13\pi}{4}$

Упростим уравнение: $$2\sin 2x - 2\sin x - 2\cos x + 1 = 0$$ $$4\sin x \cos x - 2\sin x - 2\cos x + 1 = 0$$ $$(2\sin x - 1)(2\cos x - 1) = 0$$ $$\sin x = \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad \cos x = \frac{1}{2}$$ $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{23\pi}{6}$$ $$\frac{5\pi}{6} - 4\pi = -\frac{19\pi}{6}$$ $$\frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{11\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{11\pi}{3}, -\frac{23\pi}{6}, -\frac{19\pi}{6}$$

Ответ: а) $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{11\pi}{3}, -\frac{23\pi}{6}, -\frac{19\pi}{6}$