Тригонометрические уравнения группировкой

Преобразуем уравнение, перенеся все члены в левую часть:

$$2\cos^3 x - 2\cos x - \sqrt3\sin^2 x = 0.$$

Вынесем $2\cos x$ из первых двух слагаемых:

$$2\cos x(\cos^2 x - 1) - \sqrt3\sin^2 x = 0.$$

Так как $\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x$, получаем:

$$-2\cos x\sin^2 x - \sqrt3\sin^2 x = 0.$$

Вынесем $\sin^2 x$ за скобки:

$$\sin^2 x(-2\cos x - \sqrt3) = 0.$$

Отсюда:

$$\sin^2 x = 0 \quad \text{или} \quad -2\cos x - \sqrt3 = 0.$$

$$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \cos x = -\frac{\sqrt3}{2}.$$

$$x = \pi k, \quad x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$:

Для $x = \pi k$: подходят $k = -3, -2$, то есть $x = -3\pi, \; -2\pi$.

Для $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$: при $k = -1$ даёт $x = -\frac{7\pi}{6}$, что не входит в отрезок; при $k = -2$ даёт $x = -\frac{19\pi}{6} < -3\pi$. Других подходящих нет.

Для $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$: при $k = -1$ даёт $x = -\frac{17\pi}{6}$, что лежит между $-3\pi$ и $-\frac{3\pi}{2}$; при $k = 0$ даёт $x = -\frac{5\pi}{6} > -\frac{3\pi}{2}$; при $k = -2$ даёт $x < -3\pi$.

Таким образом, корни, принадлежащие отрезку:

$$-3\pi; \quad -\frac{17\pi}{6}; \quad -2\pi.$$

Ответ: а) $\pi k; \ \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z};$ б) $-3\pi; \ -\frac{17\pi}{6}; \ -2\pi$.

Решение:

а) Перенесём все члены в одну сторону: $$2\sin^3 x = \sqrt{2}\cos^2x + 2\sin x$$ Выразим $\cos^2x$ через $\sin x$: $$2\sin^3 x - \sqrt{2}(1 - \sin^2x) - 2\sin x = 0$$ $$2\sin^3 x + \sqrt{2}\sin^2x - 2\sin x - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt2\sin^2 x(\sqrt2\sin x+ 1) - \sqrt2(\sqrt2\sin x + 1) = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow (\sqrt2\sin x + 1)(\sqrt2\sin^2x - \sqrt2) \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\sin x = 1 \\ &\sin x = -1 \\ &\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \right. \Rightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \\ &x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \\ &x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \\ &x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \frac{\pi}{2} + \pi k \\ &x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \\ &x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{11\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{7\pi}{2}, -\frac{11\pi}{4}, -\frac{5\pi}{2}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k; -\frac{\pi}{4} + 2\pi k; -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{7\pi}{2}, -\frac{11\pi}{4}, -\frac{5\pi}{2}$