Тригонометрические уравнения группировкой

Используем формулу приведения: $$\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos x$$ Подставляем в уравнение: $$\cos 2x - 2\cos x + 1 = 0$$ Выразим $\cos 2x$ через $\cos x$: $$2\cos^2x - 1 - 2\cos x + 1 = 0$$ $$2\cos^2x - 2\cos x = 0$$ $$2\cos x(\cos x - 1) = 0$$ $$\left[ \begin{aligned} &\cos x = 0 \\ &\cos x = 1 \end{aligned} \right. \Rightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \frac{\pi}{2} + \pi k \\ &x = 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi k; 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

а) Перенесём все члены в одну сторону: $$2\sin^3 x = \sqrt{2}\cos^2x + 2\sin x$$ Выразим $\cos^2x$ через $\sin x$: $$2\sin^3 x - \sqrt{2}(1 - \sin^2x) - 2\sin x = 0$$ $$2\sin^3 x + \sqrt{2}\sin^2x - 2\sin x - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt2\sin^2 x(\sqrt2\sin x+ 1) - \sqrt2(\sqrt2\sin x + 1) = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow (\sqrt2\sin x + 1)(\sqrt2\sin^2x - \sqrt2) \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\sin x = 1 \\ &\sin x = -1 \\ &\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \right. \Rightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \\ &x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \\ &x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \\ &x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \frac{\pi}{2} + \pi k \\ &x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \\ &x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{11\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{7\pi}{2}, -\frac{11\pi}{4}, -\frac{5\pi}{2}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k; -\frac{\pi}{4} + 2\pi k; -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{7\pi}{2}, -\frac{11\pi}{4}, -\frac{5\pi}{2}$

a) Упростим уравнение, используя формулу приведения: $$\sin \left( 2x - \frac{3\pi}{2} \right) = \cos 2x$$

Так как $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$, уравнение принимает вид: $$\sin 2x \cdot \sin 4x - \frac{1}{2} \cos 4x = \cos 2x$$

Используем формулу $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$: $$2\sin^2 2x \cos 2x - \frac{1}{2} \cos 4x = \cos 2x$$

Используем формулу $\cos 4x = 1 - 2\sin^2 2x$: $$2\sin^2 2x \cos 2x - \frac{1}{2}(1 - 2\sin^2 2x) = \cos 2x$$ $$2\sin^2 2x \cos 2x - \frac{1}{2} + \sin^2 2x = \cos 2x$$

Переносим все в одну сторону: $$2\sin^2 2x \cos 2x + \sin^2 2x - \cos 2x - \frac{1}{2} = 0$$

Группируем: $$\sin^2 2x (2\cos 2x + 1) - (\cos 2x + \frac{1}{2}) = 0$$

Замечаем, что $\cos 2x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(2\cos 2x + 1)$: $$(2\cos 2x + 1)(\sin^2 2x - \frac{1}{2}) = 0$$

Решаем первое уравнение: $$2\cos 2x + 1 = 0 \Rightarrow \cos 2x = -\frac{1}{2}$$ $$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$$ $$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Решаем второе уравнение: $$\sin^2 2x = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin 2x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$2x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}k$$ $$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4}k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Таким образом получаем: $$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4}k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[ -\frac{7\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2} \right]$ с помощью неравенства:

1. Для $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4}k, \ k \in \mathbb{Z}$: $$\begin{align*} -\frac{7\pi}{2} &\le \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4}k \le -\frac{5\pi}{2} \\ -\frac{28\pi}{8} &\le \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi}{8}k \le -\frac{20\pi}{8} \\ -\frac{28\pi}{8} - \frac{\pi}{8} &\le \frac{2\pi}{8}k \le -\frac{20\pi}{8} - \frac{\pi}{8} \\ -\frac{29\pi}{8} &\le \frac{\pi}{4}k \le -\frac{21\pi}{8} \\ -\frac{29}{2} &\le k \le -\frac{21}{2} \quad \Rightarrow \quad k = -14, -13, -12, -11 \end{align*}$$ Вычисляем: $k = -14$: $x = \frac{\pi}{8} - \frac{14\pi}{4} = \frac{\pi}{8} - \frac{28\pi}{8} = -\frac{27\pi}{8}$ $k = -13$: $x = \frac{\pi}{8} - \frac{13\pi}{4} = \frac{\pi}{8} - \frac{26\pi}{8} = -\frac{25\pi}{8}$ $k = -12$: $x = \frac{\pi}{8} - \frac{12\pi}{4} = \frac{\pi}{8} - \frac{24\pi}{8} = -\frac{23\pi}{8}$ $k = -11$: $x = \frac{\pi}{8} - \frac{11\pi}{4} = \frac{\pi}{8} - \frac{22\pi}{8} = -\frac{21\pi}{8}$
2. Для $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z}$: $$\begin{align*} -\frac{7\pi}{2} &\le \frac{\pi}{3} + \pi k \le -\frac{5\pi}{2} \\ -\frac{21\pi}{6} &\le \frac{2\pi}{6} + \frac{6\pi k}{6} \le -\frac{15\pi}{6} \\ -\frac{21\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} &\le \frac{6\pi k}{6} \le -\frac{15\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} \\ -\frac{23\pi}{6} &\le \pi k \le -\frac{17\pi}{6} \\ -\frac{23}{6} &\le k \le -\frac{17}{6} \quad \Rightarrow \quad k = -3 \end{align*}$$ Вычисляем: $$k = -3: \quad x = \frac{\pi}{3} - 3\pi = -\frac{8\pi}{3}$$
3. Для $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}$: $$\begin{align*} -\frac{7\pi}{2} &\le -\frac{\pi}{3} + \pi k \le -\frac{5\pi}{2} \\ -\frac{21\pi}{6} &\le -\frac{2\pi}{6} + \frac{6\pi k}{6} \le -\frac{15\pi}{6} \\ -\frac{21\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} &\le \frac{6\pi k}{6} \le -\frac{15\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} \\ -\frac{19\pi}{6} &\le \pi k \le -\frac{13\pi}{6} \\ -\frac{19}{6} &\le k \le -\frac{13}{6} \quad \Rightarrow \quad k = -3, -2 \end{align*}$$ Вычисляем: $k = -3$: $x = -\frac{\pi}{3} - 3\pi = -\frac{10\pi}{3}$ $k = -2$: $x = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3}$    (не входит, так как $-\frac{7\pi}{3} > -\frac{5\pi}{2}$)

Корни, принадлежащие отрезку
$${-\frac{27\pi}{8},\ -\frac{10\pi}{3},\ -\frac{25\pi}{8},\ -\frac{23\pi}{8},\ -\frac{8\pi}{3},\ -\frac{21\pi}{8}}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4}k, \ k \in \mathbb{Z}; \ -\frac{\pi}{3} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}; \ \frac{\pi}{3} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z};$

б) $-\frac{27\pi}{8},\ -\frac{10\pi}{3},\ -\frac{25\pi}{8},\ -\frac{23\pi}{8},\ -\frac{8\pi}{3},\ -\frac{21\pi}{8}$

а) Преобразуем уравнение: $$\cos x \cdot \cos 2x - \sin^2 x - \cos x = 0.$$ Используем формулу $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: $$\cos x \cdot (2\cos^2 x - 1) - \sin^2 x - \cos x = 0,$$ $$2\cos^3 x - \cos x - \sin^2 x - \cos x = 0,$$ $$2\cos^3 x - 2\cos x - \sin^2 x = 0.$$ Используем тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $$2\cos^3 x - 2\cos x - (1 - \cos^2 x) = 0,$$ $$2\cos^3 x - 2\cos x - 1 + \cos^2 x = 0,$$ $$2\cos^3 x + \cos^2 x - 2\cos x - 1 = 0.$$ Сгруппируем: $$(2\cos^3 x - 2\cos x) + (\cos^2 x - 1) = 0,$$ $$2\cos x(\cos^2 x - 1) + (\cos^2 x - 1) = 0,$$ $$(\cos^2 x - 1)(2\cos x + 1) = 0.$$

Получаем два случая:

1. $\cos^2 x - 1 = 0$: $$\cos^2 x = 1 \quad \Rightarrow \quad \cos x = \pm 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pi k, \; k \in \mathbb{Z}.$$

2. $2\cos x + 1 = 0$: $$\cos x = -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}.$$

Итак, корни уравнения: $$x = \pi k, \; k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ -\frac{5\pi}{2}; -\pi \right]$ с помощью тригонометрической окружности:

$$-\pi - \frac{\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-2\pi; \; -\frac{4\pi}{3}; \; -\pi.$$

Ответ: а) $\pi k, \; k \in \mathbb{Z}; \; \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}; \; -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z};$

б) $-2\pi; \; -\frac{4\pi}{3}; \; -\pi.$

а) Преобразуем исходное уравнение в виде:

$$\sin 2x - 2\sin (-x) = 1 + \cos(-x); \quad \sin 2x + 2\sin x = 1 + \cos x; \quad 2\sin x \cos x + 2\sin x = 1 + \cos x;$$ $$2\sin x (\cos x + 1) - (1 + \cos x) = 0; \quad (\cos x + 1)(2\sin x - 1) = 0;$$

Отсюда $$\cos x = -1, \quad \text{откуда} \quad x = \pi + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z},$$ или $$\sin x = \frac{1}{2}, \quad \text{откуда} \quad x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}.$$

Итак, корни уравнения:

$$\pi + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z};\; \frac{\pi}{6} + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z};\; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ -\frac{7\pi}{2}; -2\pi \right]$ с помощью тригонометрической окружности:

Отбираем корни:

$$-3\pi - \frac{\pi}{6} = -\frac{19\pi}{6}$$

Итак, корни на отрезке: $$-3\pi; -\frac{19\pi}{6}.$$

Ответ:

а) $\pi + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z};\; \frac{\pi}{6} + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z};\; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z}$

б) $-\dfrac{19\pi}{6};\; -3\pi$