Тригонометрические уравнения смешанные

Обозначим $t=\left(\tfrac{2}{5}\right)^{\cos x} > 0$, тогда $\left(\tfrac{5}{2}\right)^{\cos x}=\tfrac{1}{t}$.

Получаем уравнение: $$t+\frac{1}{t}=2$$ Домножим уравнение на $t \neq 0$: $$t^2-2t+1=0 \;\;\;\Leftrightarrow\;\;\; (t-1)^2=0 \;\;\;\Rightarrow\;\;\; t=1.$$

Следовательно: $$\left(\tfrac{2}{5}\right)^{\cos x}=1 \;\;\;\Rightarrow\;\;\; \cos x=0.$$

Тогда: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\;\; k\in\mathbb{Z}.$$

б) На отрезке $\left[-3\pi; -\tfrac{3\pi}{2}\right]$ корни:

$$x=-\tfrac{5\pi}{2},\;\; x=-\tfrac{3\pi}{2}.$$

Ответ: а) $\tfrac{\pi}{2}+\pi k,\; k\in\mathbb{Z};$    б) $-\tfrac{5\pi}{2},\;-\tfrac{3\pi}{2}$.

Так как $\sin(x+\pi)=-\sin x$, получаем: $$4^{\sin x}+4^{-\sin x}=\tfrac{5}{2}.$$

Обозначим $t=4^{\sin x} > 0$ , тогда $4^{-\sin x}=\tfrac{1}{t}$.

$$t+\frac{1}{t}=\tfrac{5}{2}$$

Домножим на $t \neq 0$:

$$2t^2-5t+2=0 \Leftrightarrow t=2 \;\;\; \text{или} \;\;\; t=\tfrac{1}{2}.$$

1. $4^{\sin x}=2 \;\;\Rightarrow\;\; \sin x=\tfrac{1}{2}$.

$$x=\tfrac{\pi}{6}+2\pi k,\;\; x=\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k, k \in Z$$

1. $4^{\sin x}=\tfrac{1}{2} \;\;\Rightarrow\;\; \sin x=-\tfrac{1}{2}$.

$$x=-\tfrac{\pi}{6}+2\pi k,\;\; x=-\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[\tfrac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности.

$$\tfrac{5\pi}{6} + 2\pi =\tfrac{17\pi}{6},\;-\tfrac{5\pi}{6} + 4\pi =\tfrac{19\pi}{6},-\tfrac{\pi}{6} + 4\pi = \;\tfrac{23\pi}{6}.$$

Ответ: а) $\tfrac{\pi}{6}+2\pi k,\;\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\;-\tfrac{\pi}{6}+2\pi k,\;-\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\;k\in\mathbb{Z};$

б) $\tfrac{17\pi}{6},\;\tfrac{19\pi}{6},\;\tfrac{23\pi}{6}$.

Представим $15$ как $3\cdot5$ и сократим одинаковые множители: $$(3\cdot5)^{\cos x}=3^{\cos x}\cdot5^{\sin x}$$ $$3^{\cos x}\cdot5^{\cos x}=3^{\cos x}\cdot5^{\sin x}$$ Так как $3^{\cos x}>0$, разделим на $3^{\cos x}$: $$5^{\cos x}=5^{\sin x} \Leftrightarrow \cos x=\sin x \;\;\Leftrightarrow\;\; \tan x=1 \;\;\Rightarrow\;\; x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\; k\in\mathbb{Z}.$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[5\pi; \tfrac{13\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{4}+5\pi=\frac{21\pi}{4},\qquad \frac{\pi}{4}+6\pi=\frac{25\pi}{4}.$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{21\pi}{4},\;\frac{25\pi}{4}.$$

Ответ: а) $x=\tfrac{\pi}{4}+\pi k,\; k\in\mathbb{Z};$    б) $\tfrac{21\pi}{4},\; \tfrac{25\pi}{4}$.

Раскроем синус суммы: $$2\left(\sin x \cos\frac{\pi}{3} + \cos x \sin\frac{\pi}{3}\right) + \cos(2x) = \sqrt{3}\cos x + 1$$ $$\sin x + \sqrt{3}\cos x + \cos(2x) = \sqrt{3}\cos x + 1$$ $$\sin x + \cos(2x) = 1$$ Выразим $\cos(2x)$ через $\sin^2 x$: $$\sin x + 1 - 2\sin^2 x = 1 \Leftrightarrow -2\sin^2 x + \sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x(1 - 2\sin x) = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\sin x = 0 \\ &\sin x = \frac{1}{2} \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = \pi k\\ & x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\\ & x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \end{aligned} \right., k\in Z$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-3\pi, -2\pi, -\frac{11\pi}{6}$$

Ответ: а) $\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-3\pi, -2\pi, -\frac{11\pi}{6}$

Используем формулу приведения для косинуса: $$\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$$ $$\cos 2x - \sqrt{2}\sin x + 1 = 0$$ Выразим $\cos 2x$ через $\sin ^2x$: $$1 - 2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x + 1 = 0$$ $$-2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x + 2 = 0$$ $$2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin x - 2 = 0$$

Сделаем замену $t = \sin x \in [-1; 1]$: $$2t^2 + \sqrt2t - 2 = 0$$ $$D = 2 + 16 = 18$$ $$t = \frac{-\sqrt{2} \pm 3\sqrt{2}}{4}$$ $$t = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{или} \quad t = -\sqrt{2} \notin[-1; 1]$$ $$\sin x = \frac{\sqrt2}{2}$$ $$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[2\pi, \frac{5\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$$ $$\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{9\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}$$

Ответ: а) $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{9\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}$