Тригонометрические уравнения смешанные

Представим $15$ как $3\cdot5$ и сократим одинаковые множители: $$(3\cdot5)^{\cos x}=3^{\cos x}\cdot5^{\sin x}$$ $$3^{\cos x}\cdot5^{\cos x}=3^{\cos x}\cdot5^{\sin x}$$ Так как $3^{\cos x}>0$, разделим на $3^{\cos x}$: $$5^{\cos x}=5^{\sin x} \Leftrightarrow \cos x=\sin x \;\;\Leftrightarrow\;\; \tan x=1 \;\;\Rightarrow\;\; x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\; k\in\mathbb{Z}.$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[5\pi; \tfrac{13\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{4}+5\pi=\frac{21\pi}{4},\qquad \frac{\pi}{4}+6\pi=\frac{25\pi}{4}.$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{21\pi}{4},\;\frac{25\pi}{4}.$$

Ответ: а) $x=\tfrac{\pi}{4}+\pi k,\; k\in\mathbb{Z};$    б) $\tfrac{21\pi}{4},\; \tfrac{25\pi}{4}$.

а) Уравнение распадается на два множителя:

1. $4x^2 + 16x + 15 = 0$

   Решим квадратное уравнение: $$D = 256 - 240 = 16, \quad \sqrt{D} = 4.$$ $$x_1 = \frac{-16 + 4}{8} = \frac{-12}{8} = -1,5,$$ $$x_2 = \frac{-16 - 4}{8} = \frac{-20}{8} = -2,5.$$

2. $\cos x \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) - 0,5 = 0$

   Преобразуем второй множитель: $$\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x.$$ Получаем: $$\cos x \cdot (-\sin x) - 0,5 = 0$$ $$-\cos x \sin x = 0,5$$ $$\cos x \sin x = -0,5.$$

   Умножим обе части на 2: $$2\sin x \cos x = -1$$ $$\sin 2x = -1.$$

   Решаем: $$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Итак, корни уравнения: $${-2,5; \ -1,5; \ -\frac{\pi}{4} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\frac{\pi}{2} \right]$.

1. Алгебраические корни: $-2,5$ и $-1,5$.

   Проверим принадлежность отрезку $[-2\pi; -\frac{\pi}{2}]$:

   $$\begin{aligned} &-2\pi \approx -6,28, \quad -\frac{\pi}{2} \approx -1,57. \\ &-2,5 \in [-6,28; -1,57] \quad \text{— принадлежит}. \\ &-1,5 > -1,57 \quad \Rightarrow \quad -1,5 \notin [-6,28; -1,57] \quad \text{— не принадлежит}. \end{aligned}$$

   Из алгебраических корней отрезку принадлежит только $x = -2,5$.

2. Тригонометрический корень: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$.

   Найдём значения на отрезке: $$-\frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{5\pi}{4}$$

Изобразим на тригонометрической окружности:

Корни, принадлежащие отрезку: $$-2,5; -\frac{5\pi}{4}.$$

**Ответ: а)**${-2,5; -1,5; \ -\frac{\pi}{4} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}}.$

б) ${-2,5; \ -\frac{5\pi}{4}}.$

а) Учтем, что подлогарифмическое должно быть больше нуля: $\cos 2x > 0$. Обозначим это (*)

Преобразуем логарифмы: $$\log_{\frac{1}{16}} (\cos 2x) = \frac{\log_2 (\cos 2x)}{\log_2 \frac{1}{16}} = \frac{\log_2 (\cos 2x)}{-4} = -\frac{1}{4} \log_2 (\cos 2x).$$

Также: $$\log_4 (\cos 2x) = \frac{\log_2 (\cos 2x)}{2}.$$

Подставим в уравнение: $$\left( \frac{\log_2 (\cos 2x)}{2} \right)^2 = -\frac{1}{4} \log_2 (\cos 2x).$$

Умножим на 4: $$\log_2^2 (\cos 2x) = -\log_2 (\cos 2x).$$ $$\log_2^2 (\cos 2x) + \log_2 (\cos 2x) = 0.$$ $$\log_2 (\cos 2x) \cdot (\log_2 (\cos 2x) + 1) = 0.$$

Отсюда:

1. $\log_2 (\cos 2x) = 0$

   $\cos 2x = 2^0 = 1$

   С учётом (*) ($\cos 2x > 0$): $2x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

   $x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\log_2 (\cos 2x) = -1$

   $\cos 2x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

   С учётом (*) ($\cos 2x > 0$): $2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

   $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Итак, корни уравнения: $${\pi k,\ k \in \mathbb{Z}; -\frac{\pi}{6} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}; \frac{\pi}{6} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ 3\pi; \frac{9\pi}{2} \right]$ с помощью тригонометрической окружности.

$$3\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{19\pi}{6}$$

$$4\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{23\pi}{6}$$

$$4\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{25\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$3\pi; \frac{19\pi}{6}; \frac{23\pi}{6}; 4\pi; \frac{25\pi}{6}.$$

**Ответ: а)**${\pi k,\ k \in \mathbb{Z}; -\frac{\pi}{6} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}; \frac{\pi}{6} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}}.$

**б)**$3\pi;\ \frac{19\pi}{6};\ \frac{23\pi}{6};\ 4\pi;\ \frac{25\pi}{6}.$