Тригонометрические уравнения смешанные

Раскроем синус суммы: $$2\left(\sin x \cos\frac{\pi}{3} + \cos x \sin\frac{\pi}{3}\right) + \cos(2x) = \sqrt{3}\cos x + 1$$ $$\sin x + \sqrt{3}\cos x + \cos(2x) = \sqrt{3}\cos x + 1$$ $$\sin x + \cos(2x) = 1$$ Выразим $\cos(2x)$ через $\sin^2 x$: $$\sin x + 1 - 2\sin^2 x = 1 \Leftrightarrow -2\sin^2 x + \sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x(1 - 2\sin x) = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\sin x = 0 \\ &\sin x = \frac{1}{2} \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = \pi k\\ & x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\\ & x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \end{aligned} \right., k\in Z$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

Корни, принадлежащие отрезку: $$-3\pi, -2\pi,-\frac{11\pi}{6}$$

Ответ: а) $x = \pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-3\pi, -2\pi,-\frac{11\pi}{6}$

$$4\sin x \cos^2 x - 2\sqrt{3} \cdot 2\sin x \cos x + 3\sin x = 0$$ $$\sin x (4\cos^2 x - 4\sqrt{3}\cos x + 3) = 0$$

$$\left[ \begin{aligned} &\sin x = 0 \\ &4\cos^2 x - 4\sqrt{3}\cos x + 3 = 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\sin x = 0 \\ &(2\cos x - \sqrt3)^2 = 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\sin x = 0 \\ &\cos x = \frac{\sqrt3}{2} \end{aligned} \right. \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \pi k \\ &\cos x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k \end{aligned} \right., k \in Z$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-\frac{7\pi}{2}, -2\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-3\pi,-\frac{13\pi}{6}, -2\pi$$

Ответ: а) $\pi k; \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-3\pi,-\frac{13\pi}{6}, -2\pi$

Используем формулу приведения: $$\cos(2x - \frac{\pi}{2}) = \sin 2x$$ $$\sin 2x = \sqrt{3}\cos x$$ $$2\sin x \cos x - \sqrt{3}\cos x = 0$$ $$\cos x(2\sin x - \sqrt{3}) = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\cos x = 0 \\ &\sin x = \frac{\sqrt3}{2} \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = \frac{\pi}{2} + \pi k \\ & x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k\\ & x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \end{aligned} \right., k \in Z$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\pi, \frac{5\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{3}, \frac{5\pi}{2}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{3}, \frac{5\pi}{2}$

Используем формулу для $\cos 2x$: $$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$$ Подставим в уравнение: $$1 - 2\sin^2 x + \sin^2 x = \frac{3}{4} \Leftrightarrow -\sin^2 x + 1 = \frac{3}{4} \Leftrightarrow -\sin^2 x = -\frac{1}{4} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \sin^2 x = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \sin x = \pm \frac{1}{2}$$ $$x = \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad x = \frac{5\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $[\pi; 2.5\pi]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$$ $$\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$$ $$\frac{5\pi}{6} + \pi = \frac{11\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{6} + \pi k; \frac{5\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$

Используем формулу приведения: $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$$ Подставим в уравнение: $$8\sin^2 x - 2\sqrt{3}\sin x - 9 = 0$$ Сделаем замену $t = \sin x \in [-1; 1]$: $$8t^2 - 2\sqrt{3}t - 9 = 0$$ $$D = 12 + 288 = 300$$ $$t = \frac{2\sqrt{3} \pm 10\sqrt{3}}{16}$$ $$t = \frac{3\sqrt{3}}{4} \notin [-1; 1] \quad \text{или} \quad t = \frac{-\sqrt{3}}{2}$$ $$\sin x = -\frac{\sqrt3}{2} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z$$

Найдём корни на отрезке $\left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3}$$

Нам подходит корень: $-\frac{7\pi}{3}$

Ответ: а) $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z$ б) $-\frac{7\pi}{3}$