Тригонометрические уравнения смешанные

Преобразуем уравнение: $$2\sin x \cos x + \sqrt{2}\sin x - 2\cos x - \sqrt{2} = 0$$ $$\sin x (2\cos x + \sqrt{2}) - (2\cos x + \sqrt2) = 0$$ $$(\sin x - 1)(2\cos x + \sqrt{2}) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \sin x = 1 \\ & \cos x = -\frac{\sqrt2}{2}\\ \end{aligned} \right. \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \\ & x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi k\\ \end{aligned} \right., k \in Z$$

б) Найдём корни на отрезке $[\pi; \frac{5\pi}{2}]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4}$$

Нам подходят корни: $$\frac{5\pi}{4}, \frac{5\pi}{2}$$

Ответ: а) $x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{5\pi}{4}, \frac{5\pi}{2}$

Используем формулу для $\cos 2x$: $$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$$ Подставим в уравнение: $$2(2\cos^2 x - 1) + 4\sqrt{3}\cos x - 7 = 0$$ $$4\cos^2 x + 4\sqrt{3}\cos x - 9 = 0$$ Сделаем замену $t = \cos x \in [-1; 1]$: $$4t^2 + 4\sqrt{3}t - 9 = 0$$ $$D = 48 + 144 = 192$$ $$t = \frac{-4\sqrt{3} \pm 8\sqrt{3}}{8}$$ $$t = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{или} \quad t = -\frac{3\sqrt{3}}{2} \notin [-1; 1]$$ $$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6}$$

Нам подходит корень: $$\frac{23\pi}{6}$$

Ответ: а) $\pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{23\pi}{6}$

Используем формулу приведения: $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$$ Подставим в уравнение: $$\cos 2x + \sqrt{2}\sin x - 1 = 0$$ Используем формулу для $\cos 2x$: $$1 - 2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin x - 1 = 0$$ $$-2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin x = 0$$ $$\sin x (-2\sin x + \sqrt{2}) = 0$$ $$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x = \pi k, \quad x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$3\pi, 4\pi, \frac{11\pi}{4}$$

Ответ: а) $x = \pi k; \frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $3\pi, 4\pi, \frac{11\pi}{4}$

Используем формулу приведения: $$\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin x$$ Подставим в уравнение: $$2\sin^2 x + 3\sqrt{2}\sin x + 2 = 0$$ Сделаем замену $t = \sin x \in [-1; 1]$: $$2t^2 + 3\sqrt{2}t + 2 = 0$$ $$D = 18 - 16 = 2$$ $$t = \frac{-3\sqrt{2} \pm \sqrt{2}}{4}$$ $$t = -\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{или} \quad t = -\sqrt{2} \notin [-1; 1]$$ $$\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4}$$ $$-\frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{13\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{13\pi}{4}, \frac{15\pi}{4}$$

Ответ: а) $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k; -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{13\pi}{4}, \frac{15\pi}{4}$

Так как $\sin(x+\pi)=-\sin x$, получаем: $$4^{\sin x}+4^{-\sin x}=\tfrac{5}{2}.$$

Обозначим $t=4^{\sin x} > 0$ , тогда $4^{-\sin x}=\tfrac{1}{t}$.

$$t+\frac{1}{t}=\tfrac{5}{2}$$

Домножим на $t \neq 0$:

$$2t^2-5t+2=0 \Leftrightarrow t=2 \;\;\; \text{или} \;\;\; t=\tfrac{1}{2}.$$

1. $4^{\sin x}=2 \;\;\Rightarrow\;\; \sin x=\tfrac{1}{2}$.

$$x=\tfrac{\pi}{6}+2\pi k,\;\; x=\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k, k \in Z$$

1. $4^{\sin x}=\tfrac{1}{2} \;\;\Rightarrow\;\; \sin x=-\tfrac{1}{2}$.

$$x=-\tfrac{\pi}{6}+2\pi k,\;\; x=-\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[\tfrac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности.

$$\tfrac{5\pi}{6} + 2\pi =\tfrac{17\pi}{6},\;-\tfrac{5\pi}{6} + 4\pi =\tfrac{19\pi}{6},-\tfrac{\pi}{6} + 4\pi = \;\tfrac{23\pi}{6}.$$

Ответ: а) $\tfrac{\pi}{6}+2\pi k,\;\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\;-\tfrac{\pi}{6}+2\pi k,\;-\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\;k\in\mathbb{Z};$

б) $\tfrac{17\pi}{6},\;\tfrac{19\pi}{6},\;\tfrac{23\pi}{6}$.