Задачи разного типа

Так как доход увеличится на $25\%$ значит через $3$ года в регионе $A$ доход составит:

$$43740\cdot 1,25^3$$

Суммарный доход жителей в регионе $B$ в $2014$ году составит:

$$n\cdot 60000,$$

где $n$ - количество жителей в регионе $B$.

Тогда, так как в течение $3$ лет суммарный доход жителей региона $B$ увеличивался на $17\%$, доход в $B$ составит:

$$n\cdot 60000\cdot 1,17^3$$

Население в $2017$:

$$n\cdot (1+\frac{m}{100})^3$$

Среднемесячный доход в $2017$ составит:

$$\frac{n\cdot 60000\cdot 1,17^3}{n\cdot (1+\frac{m}{100})^3}=\frac{60000\cdot 1,17^3}{(1+\frac{m}{100})^3}=\frac{60000\cdot 1,17^3}{(1+\frac{m}{100})^3}=43740\cdot 1,25^3\\ \frac{60000\cdot 1,17^3}{(1+\frac{m}{100})^3}=43740\cdot 1,25^3$$

Пусть:

$$1+\frac{m}{100}=k$$ $$\begin{aligned} k^3=\frac{60000\cdot 1,17^3}{43740\cdot 1,25^3}\\ k^3=\frac{6000\cdot 1,17^3}{4374\cdot 1,25^3}\\ k^3=\frac{6\cdot 10^3\cdot 1,17^3}{4374\cdot 1,25^3}\\ k^3=\frac{10^3\cdot 1,17^3}{729\cdot 1,25^3}\\ k^3=\frac{10^3\cdot 1,17^3}{9^3\cdot 1,25^3} \end{aligned}$$ Значит:

$$k=\frac{10\cdot 1,17}{9\cdot 1,25}\\ k=\frac{135}{125}=\frac{1040}{1000}=1,04$$

Тогда: $$\begin{aligned} 1+\frac{m}{100}=1,04\\ \frac{m}{100}=0,04\\ m=4 \end{aligned}$$ Ответ: 4

Пусть $S$ — сумма кредита в млн. руб. r=20%, значит $k = 1+0.2=\frac{6}{5}$

Последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью, тогда: $$(1{,}2S - x) \cdot 1{,}2 - x = 0.$$ $$1{,}44S - 1{,}2x - x = 0,$$ $$1{,}44S - 2{,}2x = 0,$$ $$2{,}2x = 1{,}44S,$$ $$x = \frac{1{,}44S}{2{,}2} = \frac{36S}{55}.$$ Общая сумма выплат: $$3 \cdot \frac{S}{5} + 2 \cdot \frac{36S}{55}= \frac{3S}{5} + \frac{72S}{55}= \frac{105S}{55} = \frac{21S}{11}.$$ По условию общая сумма выплат по кредиту не превышает $10$ млн рублей, составим неравенство: $$\frac{21S}{11} \leq 10,$$ $$21S \leq 110,$$ $$S \leq \frac{110}{21}$$ $$S \leq 5\frac{5}{21}\ \text{млн руб.}$$ Так как $S$ — целое число миллионов, максимальное $S = 5$.

Ответ: $5$

Пусть $S$ — сумма кредита в млн. руб. $r=20\%$, значит $k = 1+0.2=\frac{6}{5}$

Последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью, тогда: $$(1{,}2S - x) \cdot 1{,}2 - x = 0.$$ $$1{,}44S - 1{,}2x - x = 0,$$ $$1{,}44S - 2{,}2x = 0,$$ $$2{,}2x = 1{,}44S,$$ $$x = \frac{1{,}44S}{2{,}2} = \frac{36S}{55}.$$ Общая сумма выплат: $$4 \cdot \frac{S}{5} + 2 \cdot \frac{36S}{55}= \frac{4S}{5} + \frac{72S}{55}= \frac{44S}{55} + \frac{72S}{55}= \frac{116S}{55}.$$ По условию общая сумма выплат по кредиту должна превышать $12$ млн рублей, составим неравенство: $$\frac{116S}{55} > 12,$$ $$S > \frac{660}{116}$$ $$S > \frac{165}{29}$$ $$S > 5\frac{20}{29}\ \text{млн руб.}$$ Так как $S$ — целое число миллионов, наименьшее $S = 6$.

Ответ: 6

Сумма кредита: $S = 8400$ тыс. руб.

Вариант 1. Пусть $x$ - платёж, тогда:

$$(1.1S - x) \cdot 1.1 - x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 4840$$ Общая выплата: $2x = 9680$ тыс. руб.
Вариант 2. Пусть $x$ - уменьшение долга, тогда:

$$x = \frac{S}{8} = 1050$$

Сумма выплат= $8x+0.03\cdot((S+(S-x)+\dots+(S-7x))$ Скобка образует арифметическую прогрессию, где $a_1=S;\, d=-x;\,n=8$, тогда её сумма будет равна: $$S_n=\frac{S+S-7x}{2}\cdot8=(2S-7x)\cdot4$$ Т.е. сумма выплат= $8x+0.03\cdot(2S-7x)\cdot4=8400+0.12\cdot9450=9534$ тыс. руб

Сравнение.
Вариант 1: 9680 тыс. руб.
Вариант 2: 9534 тыс. руб.
Разница: $9680 - 9534 = 146$ тыс. руб. = $\mathbf{146000}$ рублей.
Ответ: 146000

Сумма кредита: $S = 8800$ тыс. руб.

Вариант 1. Пусть $x$ - платёж, тогда:

$$(1.2S - x) \cdot 1.2 - x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 5760$$ Общая выплата: $2x = 11520$ тыс. руб.
Вариант 2. Пусть $x$ - уменьшение долга, тогда:

$$x = \frac{S}{8} = 1100$$

Сумма выплат= $8x+0.06\cdot((S+(S-x)+\dots+(S-7x))$
Скобка образует арифметическую прогрессию, где $a_1=S;\, d=-x;\,n=8$, тогда её сумма будет равна: $$S_n=\frac{S+S-7x}{2}\cdot8=(2S-7x)\cdot4$$ Т.е. сумма выплат= $8x+0.06\cdot(2S-7x)\cdot4=8800+0.24\cdot9900=11176$ тыс. руб
Сравнение.
Вариант 1: 11520 тыс. руб.
Вариант 2: 11176 тыс. руб.
Разница: $11520 - 11176 = 344$ тыс. руб. = $\mathbf{344000}$ рублей.
Ответ: 344000