Значение производной в точке касания

Пусть точка $A = (0, -3) $, точка $B = (-5, -6)$, а точка $C = (0, -6)$ .

Тангенс угла наклона касательной к графику функции равен значению производной в точке касания. Тогда из прямоугольного треугольника $ABC$ найдём тангенс угла $ABC$ (тангенс угла наклона касательной). $AC = 3$, $BC = 5$.

$$f'(x_0) = \tg \angle ABC = \frac{AC}{BC} = \frac{3}{5} = 0,6$$

Пусть точка $A = (-2, 3) $, точка $B = (-6, -5)$, а точка $C = (-2, -5)$ .

Тангенс угла наклона касательной к графику функции равен значению производной в точке касания. Тогда из прямоугольного треугольника $ABC$ найдём тангенс угла $ABC$ (тангенс угла наклона касательной). $AC = 8$, $BC = 4$.

$$f'(x_0) = \tg \angle ABC = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{4} = 2$$

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−2; 13), B (−2; 3), C (6; 3). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:

$$f'(x_0) = -\tg \angle AСВ = -\frac{AВ}{BC} = -\frac{10}{8} = -1,25$$

Пусть точка $A = (-8, 3) $, точка $B = (-3, -1)$, а точка $C = (-1, -3)$ .

Тангенс угла наклона касательной к графику функции равен значению производной в точке касания. Тогда из прямоугольного треугольника $ABC$ найдём тангенс угла $ABC$ (тангенс угла наклона касательной). $AC = 4$, $BC = 5$.

$$f'(x_0) = -\tg \angle ABC = -\frac{AC}{BC} = -\frac{4}{5} = -0,8$$

Знак минус обусловлен убыванием функции.

Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Пусть $A = (2, 3)$, $B = (7, -4)$, $C = (2, -4)$.

Тогда:

$$f'(x_0) = -\tg \angle ABC = -\frac{7}{5} = -1,4$$

Знак минус обусловлен убыванием функции.