Магнетизм

Для решения задачи изобразим силы, действующие на шарик:

Тогда по второму закону Ньютона в проекции на оси: $$\begin{cases} T \sin \alpha + qvB = \dfrac{mv^2}{R} \\ T \cos \alpha - mg = 0 \end{cases}$$ Где радиус $R$ можно найти из соотношения $R=l\sin \alpha$. Тогда выражая из системы искомый заряд $q$ получим: $$q = \frac{m}{B} \left( \frac{v}{l \sin \alpha} - \frac{g}{v} \tan \alpha \right)$$

Для решения заметим, что задачу условно можно разделить на две части, а именно первая, характеризующая движением частицы только в электрическом поле, и вторая с движением в магнитном, рассмотрим каждое движение по отдельности.
При движении в электрическом поле частица будет разгоняться под действием электрического поля, причём согласно закону изменения полной механической энергии работа электрического поля, равна изменению кинетической энергии: $$A_\text{эл.}=\Delta W_\text{к}$$ $$qU=\frac{mv^2}{2}$$ Откуда скорость $v$ частицы после прохождения электрического поля равна: $$v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$$ Далее перейдём к рассмотрению движения частицы в магнитном поле. Заметим, что на частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца $F_\text{л}=Bqv\sin{\alpha}$, где в нашем случае $\sin{\alpha}=1$ так как частица летит перпендикулярно вектору магнитной индукции. Так же так как движение частицы перпендикулярно вектору магнитной индукции, то следовательно она будет двигаться по окружности, тогда по второму закону Ньютона: $$ma=F_\text{л}\Rightarrow \frac{mv^2}{R}=Bqv\Rightarrow mv=BRq \Rightarrow m\sqrt{\frac{2qU}{m}}=BRq\Rightarrow \sqrt{2mU}=BR\sqrt{q}\Rightarrow 2mU=(BR)^2q$$ И выражая из полученного выражение искомое отношение $\frac{m}{q}$: $$\frac{m}{q}=\frac{(RB)^2}{2U} = \frac{(0.25 \cdot 2)^2}{2 \cdot 5 \cdot 10^3} = 25 \cdot 10^{-6} \ \text{кг/Кл}$$

Для решения задачи заметим, что на частицу будет действовать сила Лоренца $F_\text{л}=qvB\sin{\alpha}$, где так как вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости рисунка, то $\sin{\alpha}=1$. Так же заметим, что частица будет двигаться по окружности, а значит на неё будет действовать центростремительное ускорение $a_\text{ц.с.}$, таким образом по второму закону Ньютона: $$ma_\text{ц.с.}=F_\text{л}$$ $$\frac{mv^2}{R}=qvB$$ $$R=\frac{mv}{qB}$$ И так как расстояние $d$ между точками A и B равно удвоенному радиусу кривизны, то: $$d=2R=\frac{2mv}{qB}=\frac{2\cdot1.02\cdot10^{-8}\cdot6\cdot10^5}{0.02}=0.612\,\text{м}$$

Для решения задачи заметим, что частицы будут двигаться в магнитном поле, а значит на них будет действовать сила Лоренца $F_\text{л}=Bqv\sin{\alpha}$, а так как вектор скорости перпендикулярен вектору магнитной индукции, то $\sin{\alpha}=1$. Так же стоит заметить, что частица будет двигаться по окружности, тогда по второму закону Ньютона: $$ma=F_\text{л}\Rightarrow \frac{mv^2}{R}=Bqv\Rightarrow \frac{mv}{R}=Bq\Rightarrow m=\frac{BqR}{v}$$ Период обращение по окружности связан с радиусом окружности и скоростью движения соотношением: $$T=\frac{2\pi R}{v}\Rightarrow \frac{R}{v}=\frac{T}{2\pi}$$ Тогда: $$m=\frac{BqR}{v}=\frac{BqT}{2\pi}$$ Тогда искомое соотношение: $$\frac{m_1}{m_2}=\frac{Bq_1T_1\cdot2\pi}{Bq_2T_2\cdot2\pi}=\frac{q_1T_1}{q_2T_2}=2\cdot0.5=1$$

Для решения задачи заметим, что проводник движется в магнитном поле, при этом возникнет ЭДС индукции $\xi_i=Bvl\sin{\alpha}$, где $\sin{\alpha}=1$. Тогда по закону Ома в цепи возникнет ток, направленный по правилу левой руки вверх, и равный по модулю: $$I_i=\frac{\xi_i}{R}$$ Так же на проводник в магнитном поле действует сила Ампера, которая по правилу левой руки направлена влево и равна по модулю: $$F_\text{А}=BIl\sin{\beta}\text{, где }\sin{\beta}=1$$ Таким обарзом на перемычку действует сила тяжести $m\vec{g}$, сила реакции опоры $\vec{N}$, сила Ампера $\vec{F_\text{А}}$, сила трения $\vec{F_\text{тр}}$ и сила $\vec{F}$, тогда по второму закону Ньютона: $$\vec{F}+\vec{F_\text{А}}+\vec{F_\text{тр}}+m\vec{g}+\vec{N}=0$$ В проекции на горизонатльну ось $Ox$ и вертикальную ось $Oy$: $$Oy:\quad N-mg=0 \Rightarrow N=mg$$ $$Ox:\quad F-F_\text{А}-F_\text{тр}=0$$ Из последнего уравнения найдём искомую силы $F$: $$F=F_\text{А}+F_\text{тр}=BIl+\mu N=\frac{Bl\xi_i}{R}+\mu mg=\frac{B^2vl^2}{R}+\mu mg=\frac{0.15^2\cdot1\cdot2^2}{0.025}+0.25\cdot0.3\cdot10=2.55\,\text{Н}$$