Магнетизм

Для решения задачи рассмотрим все силы, действующие на стержень, а именно сила тяжести $m\vec{g}$, сила реакции опоры $\vec{N}$ и сила Ампера $\vec{F_\text{А}}$. Изобразим эти силы:

Тогда по второму закону Ньютона в проекции на ось $Ox$: $$F_\text{А}\cos{\alpha}-mg\sin{\alpha}=ma$$ Силу Ампера можем найти по формуле $F_\text{А}=BIl\sin{\beta}$, где $\beta=90^\circ$, как угол между направлением тока и вектором магнитной индукции. Таким образом уравнение примет вид: $$BIl\cos{\alpha}-mg\sin{\alpha}=ma$$ Откуда можем выразить искомое ускорение стержня: $$a=\frac{BIl\cos{\alpha}-mg\sin{\alpha}}{m}=\frac{BIl\cos{\alpha}}{m}-g\sin{\alpha}=\frac{0.2\cdot4\cdot\cos{30^\circ}}{0.1}-10\cdot\sin{30^\circ}\approx1.9\,\text{м/с}^2$$

Для решения задачи заметим, что перемычка движется в магнитном поле, а значит в ней будет возникать ЭДС индукции, модуль которой равен: $$\xi_i=Bvl\sin{\alpha},\text{ где в нашем случае }\sin{\alpha}=1$$ Тогда по закону Ома возникнет индукционный ток, модуль которого равен: $$I=\frac{\xi_i}{R}=\frac{Bvl}{R}$$ Теперь рассмотрим силы, которые будут действовать на перемычку, а именно сила $F$, сила тяжести $m\vec{g}$, сила трения $F_\text{тр}$, сила реакции опоры $N$, а так же на проводник с током магнитное поле действует силой Ампера $F_\text{А}$, направление которой определяем по правилу левой руки, модуль этой силы можно найти по формуле $F_\text{А}=BIl\sin{\beta},\text{ где в нашем случае }\sin{\beta}=1$. Изобразим эти силы на рисунке:

Таким образом по второму закону Ньютона: $$Oy: N-mg=0 \Rightarrow N=mg$$ $$Ox: F-F_\text{А}-F_\text{тр}=0\Rightarrow F=BIl-\mu N=\frac{B^2vl^2}{R}-\mu mg$$ Из последнего уравнения модем выразить искомую скорость движения перемычки: $$v=\frac{(F-\mu mg)R}{(Bl)^2}=\frac{(1.13-0.25\cdot0.092\cdot10)\cdot0.1}{(0.15\cdot1)^2}=4\,\text{м/с}$$

Для решения задачи заметим, что так как вектор магнитной индукции меняется, то будет меняться и поток, прошедший через рамку площадью $S=l^2$. Поэтому по закону Фарадея в рамке возникнет ЭДС индукции модуль которого равен: $$\xi_i=-\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=-\frac{\Delta B_nS}{\Delta t}$$ Тогда по закону Ома в контуре возникнет ток, сила которого равна: $$I=\frac{\xi_i}{R}=-\frac{\Delta B_nS}{R\Delta t}$$ При этом сопротивление контура $R$ можно найти по формуле: $$R=\rho\frac{4l}{S_0}$$ Далее запишем закон Джоуля — Ленца, согласно которой за время $\tau$ в рамке выделится количество теплоты: $$Q=I^2R\tau=\frac{\Delta B_n^2S^2}{R\tau}=\frac{\Delta B_n^2l^3S_0}{4\rho\tau}$$ Исходя из графика зависимость имеет вид $B_n=0.6-0.1\tau$, тогда $\Delta B_n=0.1\tau$. Подставив данную зависимость в уравнение и выразим искомое время: $$\tau=\frac{4Q\rho}{0.1^2l^3S_0}=\frac{4\cdot3\cdot10^4\cdot1.7\cdot19^{-8}}{0.1^2\cdot0.1^3\cdot2\cdot10^{-6}}=1.02\cdot10^8\,\text{с}$$

Для решения задачи заметим, что частица будет двигаться в магнитном поле под действием силы Лоренца $F_\text{Л}=Bqv\sin{\alpha}$, где $\beta$ – угол между векторами скорости и магнитной индукции и так как протон влетает перпендикулярно вектору магнитной индукции, то $\beta=90^\circ$.
Если обозначить длину дуги, по которой движется протона за $l$, то время нахождения протона в магнитном поле равно: $$t=\frac{l}{v}$$ При этом длина дуги $l$ может быть найдена как длина окружности радиусом $R$, при этом, исходя из геометрии, центральный угол, на который опирается эта дуга, равен углу альфа.

Такоим образом: $$l=\frac{\pi R\alpha}{180^\circ}$$ Теперь запишем второй закон Ньютона, согласно которому: $$ma=F_\text{Л}\Rightarrow \frac{mv^2}{R}=Bqv\Rightarrow \frac{mv}{R}=Bq\Rightarrow R=\frac{mv}{Bq}$$ Таким образом объединяя все формулы найдём искомое время нахождения протона в магнитном поле: $$t = \frac{l}{v} = \frac{\pi \alpha m}{180^\circ Bq} = \frac{3.14 \cdot 30^\circ \cdot 1.67 \cdot 10^{-27}}{180^\circ \cdot 0.03 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19}} \approx 18 \cdot 10^{-8} \, \text{с}$$

Для решения задачи заметим, что при движении проводников в одном направлении происходит изменение магнитного пока пронизывающего контур, а именно за промежуток $\Delta t$ поток изменится на $\Delta\Phi=B\Delta S= Bl(v_1-v_2)\Delta t=Bl(v_{12})\Delta t$. Согласно закону Фарадея в конуре возникнет индукционный ток, модуль которого равен: $$\xi_i=-\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=-Blv_{12}$$ Тогда согласно закону Ома в цепи возникнет индукционный ток, сила тока которого равна: $$I=\frac{|\xi_i|}{2R}=\frac{Blv_{12}}{2R}$$ Далее разберёмся с силами, которые действуют на каждый стержень, а именно на движутся в магнитном поле проводник действует сила Ампера $F_\text{А1}=F_\text{А2}=BlI$, так же на стрежни действует сила реакции опоры $N$, сила тяжести $mg$ и сила трения $F_\text{тр}$. Изобразим эти силы:

Теперь рассмотрим конкретно второй стержень, для которого согласно второму закону Ньютона справедлива следующая система в проекции на вертикальную $Oy$ и горизонтальную ось $Ox$: $$Oy:\quad N=mg$$ $$Ox:\quad F_\text{тр}=F_\text{А2}\Rightarrow \mu N=BlI\Rightarrow \mu mg=\frac{(Bl)^2v_{12}}{2R}$$ Из последнего уравнения можем выразить искомую скорость движения первого стержня относительно второго: $$v_{12} = \frac{2\mu mgR}{(BI)^2} = \frac{2 \cdot 0.1 \cdot 0.1 \cdot 10 \cdot 0.1}{(1 \cdot 0.1)^2} = 2 \, \text{м/с}$$