Маятники

Период колебаний математического маятника: $$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

Период не зависит от массы груза, поэтому изменение массы не влияет на период.

Первоначальный период: $$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

После увеличения длины в 9 раз: $$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{9l}{g}} = 2\pi \sqrt{9} \sqrt{\frac{l}{g}} = 3 \cdot 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = 3T_1$$

Отношение периодов: $$\frac{T_2}{T_1} = 3$$

Частота колебаний математического маятника: $$\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$$

Частота не зависит от массы груза, поэтому изменение массы не влияет на частоту.

Первоначальная частота: $$\nu_1 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$$

После увеличения длины в 2,25 раза: $$\nu_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{2{,}25l}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{1}{2{,}25}} \sqrt{\frac{g}{l}} = \frac{1}{\sqrt{2{,}25}} \cdot \nu_1 = \frac{1}{1{,}5} \cdot \nu_1$$

Отношение частот: $$\frac{\nu_1}{\nu_2} = 1{,}5$$

Период колебаний пружинного маятника: $$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$

Если период уменьшается в 2,5 раза, то $T_2 = \frac{T_1}{2{,}5}$.

Составим отношение периодов: $$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{k_1}{k_2}} = \frac{1}{2{,}5}$$

Возведём в квадрат: $$\frac{k_1}{k_2} = \left(\frac{1}{2{,}5}\right)^2 = \frac{1}{6{,}25}$$

Найдём новую жёсткость: $$k_2 = k_1 \cdot 6{,}25 = 32 \cdot 6{,}25 = 200 \text{ Н/м}$$

Частота колебаний пружинного маятника: $$\nu = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$$

Если частота уменьшается в 2 раза, то $\nu_2 = \frac{\nu_1}{2}$.

Составим отношение частот: $$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} = \frac{1}{2}$$

Возведём в квадрат: $$\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{4}$$

Найдём новую массу: $$m_2 = 4m_1 = 4 \cdot 0{,}4 = 1{,}6 \text{ кг}$$

Увеличение массы: $$\Delta m = m_2 - m_1 = 1{,}6 - 0{,}4 = 1{,}2 \text{ кг}$$

Частота пружинного маятника: $$\nu = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$$ Отношение частот: $$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$$ $$\nu_2 = \nu_1 \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} = 4 \cdot \sqrt{\frac{200}{50}} = 4 \cdot \sqrt{4} = 4 \cdot 2 = 8~\text{Гц}$$