Статика. Механические колебания

По 2 закону Ньютона: так как кубик плавает - действующие на него силы уравновешены. Для плавающего тела сила тяжести равна силе Архимеда: $$F_A = F_\text{т}$$ $$F_A = mg$$ $$m= \rho_{\text{тела}} \cdot V$$ Объём кубика: $$V = a^3 = (0{,}1)^3 = 0{,}001 \text{ м}^3$$ Тогда сила тяжести: $$F_\text{т} = \rho_{\text{тела}} \cdot V \cdot g$$ Плотность железа $\rho_{\text{ж}} = 7800$ кг/м³. $$F_\text{т}= 7800 \cdot 0{,}001 \cdot 10 = 78 \text{ Н}$$ Тогда сила Архимеда: $$F_A = F_\text{т} = 78 \text{ Н}$$

Сила Архимеда для полностью погружённого тела: $$F_A = \rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot V_{\text{кубика}}$$

Объём кубика: $$V = a^3 = (0{,}03)^3 = 0{,}000027 \text{ м}^3 = 2{,}7 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$$

Плотность воды $\rho_{\text{воды}} = 1000$ кг/м³.

Сила Архимеда: $$F_A = 1000 \cdot 10 \cdot 2{,}7 \cdot 10^{-5} = 0{,}27 \text{ Н}$$

Период колебаний математического маятника: $$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

Период не зависит от массы груза, поэтому изменение массы не влияет на период.

Первоначальный период: $$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

После увеличения длины в 9 раз: $$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{9l}{g}} = 2\pi \sqrt{9} \sqrt{\frac{l}{g}} = 3 \cdot 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = 3T_1$$

Отношение периодов: $$\frac{T_2}{T_1} = 3$$

Частота колебаний математического маятника: $$\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$$

Частота не зависит от массы груза, поэтому изменение массы не влияет на частоту.

Первоначальная частота: $$\nu_1 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$$

После увеличения длины в 2,25 раза: $$\nu_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{2{,}25l}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{1}{2{,}25}} \sqrt{\frac{g}{l}} = \frac{1}{\sqrt{2{,}25}} \cdot \nu_1 = \frac{1}{1{,}5} \cdot \nu_1$$

Отношение частот: $$\frac{\nu_1}{\nu_2} = 1{,}5$$

Период колебаний пружинного маятника: $$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$

Если период уменьшается в 2,5 раза, то $T_2 = \frac{T_1}{2{,}5}$.

Составим отношение периодов: $$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{k_1}{k_2}} = \frac{1}{2{,}5}$$

Возведём в квадрат: $$\frac{k_1}{k_2} = \left(\frac{1}{2{,}5}\right)^2 = \frac{1}{6{,}25}$$

Найдём новую жёсткость: $$k_2 = k_1 \cdot 6{,}25 = 32 \cdot 6{,}25 = 200 \text{ Н/м}$$