Механика

Выпишем закон сохранения энергии для незамкнутой системы: $A_{\text{тр}}=E_{\text{полн}}-E_{\text{пол}}$, где работа силы трения равна $A_{\text{тр}}=-F_{\text{тр}}s$, полная энергия на высоте горы $E_{\text{полн}}=E_{\text{пл}}=mgh$, полная энергия в момент остановки равна $0$.

Тогда получаем: $F_{\text{тр}}ps= mgh$.

Таким образом, величина силы трения равна

$$F_{\text{тр}}=\frac{mgh}{s}=\frac{60\ \text{кг}\cdot10\ \text{м/с}^2\cdot20\ \text{м}}{200\ \text{м}}=60\ \text{Н}.$$

Ответ: 60 Н.

После того, как пружину сжали, совершив над ней работу, на систему «пружина — брусок» больше не действует внешних сил, совершающих работу, а значит, для этой системы выполняется закон сохранения полной механической энер- гии $E_{\text{пот}}=E_{\text{кин}}$, при этом потенциальная энергия упруго деформированной пружины равна $E_{\text{пот}}=\dfrac{k\Delta x^2}{2}$, кинетическая энергия бруска $E_{\text{кин}}=\dfrac{Mv^2}{2}$. Таким образом, получаем:

$$\frac{Mv^2}{2}=\frac{k(\Delta x)^2}{2}$$

$$k=M\frac{v^2}{(\Delta x)^2}=0{,}1\ \text{кг}\cdot\left(\frac{1\ \text{м}/\text{с}^2}{(0{,}01\ \text{м})^2}\right)=1000\ \text{Н}/\text{м}.$$

Ответ: $1000\ \text{Н}/\text{м}$.

Вся потенциальная энергия пружины перейдет в кинетическую, то есть

$$\frac{kx^2}{2}=\frac{mv^2}{2},$$ где $k$ — жесткость пружины, $x$ — максимальное растяжение пружины, $m$ — масса груза, $v$ — максимальная скорость груза. Найдем скорость груза:

$$v=x\sqrt{\frac{k}{m}}=0{,}1\,\text{м}\cdot \sqrt{\frac{200\ \text{Н}/\text{м}}{2\ \text{кг}}}=1\,\text{м/с}.$$

Ответ:

$$v=x\sqrt{\frac{k}{m}}=1\ \text{м/с}.$$

1. Формула колебаний маятника:

$$x = A\cos\left(\frac{2\pi}{T}t\right)$$

1. Выявь производную и найдaй $T$ и $A$ из таблицы, получим:

$$v = -A\frac{2\pi}{T}\sin\left(\frac{2\pi}{T}t\right)$$

$$v_{max}=A\frac{2\pi}{T}=0{,}785\ \text{м/с}$$

Период колебаний математического маятника находится по формулам: $$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}=\frac{2\pi}{\omega}$$ откуда $\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}$ — циклическая частота.

Отсюда длина нити $$l=\frac{g}{\omega^2}=\frac{10\ \text{м}/\text{с}^2}{100\ \text{рад}^2/\text{с}^2}=0{,}1\ \text{м}.$$